Question

给定随机数随机生成器（7），它可以以相等的概率生成数字1,2,3,4,5,6,7（即，每个数字出现的概率是1/7）。现在我们想设计一个随机（5），它可以以相等的概率生成1,2,3,4,5（1/5）。

有一种方法：每次我们运行随机（7）时，只有在生成1-5时才返回。如果是6或7，则再次运行直到它为1-5。

我有点困惑。第一个问题是：

如何用数学方法证明每个数字出现的概率是1/5？例如，假设返回数字1的概率是P（1）。如果B表示'所选数字在1-5'并且A表示'选择1'，则根据条件概率，P（1）= P（A | B）= P（AB）/ P（B）。显然P（B）是5/7。但是如果P（1）= 1/5，P（AB）应该是1/7，为什么呢？我认为P（A）= 1/7。有什么不对吗？

第二个问题是，这个方法会一直运行，直到随机（7）没有返回6或7.如果它运行了很长时间没有返回1-5怎么办？我知道机会非常小，但有什么方法可以阻止它吗？

谢谢！

Answer 1

每卷中使用 rnd（7）滚动数字 n（1..5）的概率为 1/7 。在第一卷中获得这样一个数字的机会是5/7，或者：在所有首轮案例的 2/7中，你需要再次滚动。

当检查某个数字n（1..5）的滚动概率时，会产生系列：

p（n）= 1/7 + 2/7 *（1/7 + 2/7 *（1/7 + 2/7 *（...）））

此系列评估为 1/5 ，这是滚动特定数字n（1..5）的预期概率。

第二个问题：你有可能需要永远滚动。在x roll中得到结果的概率是 1-（2/7）^ x ，这很快接近1，所以你很可能只需几卷就可以得到一个结果，但没有保证。仍未在大量滚动中产生结果的概率变得小于在接下来的5分钟内吞噬行星的概率C'thulu，因此没有必要建立一些预防措施。如果你绝对必须，那么在n个内部滚动之后返回1，这只会略微扭曲所产生的随机数的分布。

Answer 2

第一个问题的答案由基本条件概率给出：

让X成为k中任意{1,2,3,4,5}的随机（7）数字：

P(X = k | X <= 5) = P(X = k)/P(X <= 5) = (1/7)/(5/7) = 1/5

这是因为观察到2个事件X = k和X <= 5的交集只是X = k。

直到第一次成功（成功获得数字<= 5）的试验次数是具有p = 5/7的几何随机变量。预期的试验次数为1/p = 7/5 = 1.4。您将在此设置中尽快取得成功。正如@PeterWalser在他的回答中所说的那样，不能快速获得1-5范围内的数字的可能性很小。

为了好玩，您可以编写一个简短的脚本来进行调查。这是Python中的一个：

from random import randint
from collections import Counter

def trials_needed():
    num = randint(1,7)
    trial = 1
    while num > 5:
        num = randint(1,7)
        trial += 1
    return trial

counts = Counter(trials_needed() for i in range(10**6))
for c,i in counts.items(): print(c,":",i)

典型运行的输出：

超过99％的时间需要少于5次试验。超过10项试验极为罕见。

随机设计随机（5）（7）

2 个答案: