Question

我有以下数据类型：

data Bull = Fools
  | Twoo
  deriving (Eq, Show)

并使用Monoid实现它：

instance Monoid Bull where
  mempty = Fools
  mappend _ _ = Fools

如您所见，mempty是身份法不具备的身份功能：

*Main> x = Twoo
*Main> mappend mempty x == x

Bull类型的身份是什么？ Bool类型的身份是什么？

Answer 1

简短回答：取决于mappend功能。

Bull类型的身份是什么？ Bool类型的身份是什么？

类型具有无“固有”标识，标识元素仅存在关于二元函数（此处为{{1} }），就像Wikipedia article says：

一样

在数学中，一个单位元素或中性元素是一组特殊类型的元素，相对于该集合上的二元运算，当与它们结合时，其他元素保持不变。

所以这取决于操作mappend是什么。

如果我们定义mappend Bool，则标识元素为mappend = (&&)。但是，如果我们选择mempty = True，那么mappend = (||)。

您的mempty = False 不正确。由于它不能满足财产：

instance Moniod Bull

如果我们选择mappend mempty x = x作为Fools，则mempty = Fools应为mappend Fools Twoo。如果我们选择Twoo，则mempty = Twoo仍然不是mappend Twoo Twoo。

Twoo的要点是你必须仔细设计二元运算符。就像Haskell documentation on Monoid所说的那样，它应该满足以下要求：

Monoid

这些规则并非为Haskell“发明”： monoid 是众所周知的algebraic structure。通常在数学中，幺半群表示为3元组。例如（N，+，0） N 此处设置（例如自然数）， + 二进制函数，< em> 0 标识元素。

Answer 2

这是一个很好的问题，也是我以前玩过几次的问题。事实上，这是我提出的universe的第一个用途之一，我仍然认为它是一个整洁的用途。那么，让我告诉你！

以下是我们的想法：我们将使用Universe包来枚举 mempty和mappend的所有可能实现，然后检查哪些符合法律。首先，一些样板：

import Data.Universe
import Data.Universe.Instances.Reverse

data Bull = Fools | Twoo deriving (Bounded, Enum, Eq, Ord, Read, Show)
instance Universe Bull
instance Finite Bull

这只是导入包的相应位并定义您的类型。现在，让我们编写幺半群法则。我们希望我们的mappend是关联的;为(+)撰写mappend，我们可以要求：

associative        (+) = all (\(x,y,z) -> (x+y)+z == x+(y+z)) universe

身份法律彼此非常相似，并将我们的mappend与我们的mempty联系起来（我们会在此处拨打(+)和zero）：

leftIdentity  zero (+) = all (\x -> zero+x == x) universe
rightIdentity zero (+) = all (\x -> x+zero == x) universe

幺半群应该满足所有三个法则：

monoid (zero, (+)) = associative (+) && leftIdentity zero (+) && rightIdentity zero (+)

现在我们可以通过过滤出符合法律的那些来构建所有幺半群的列表：

monoidsOnBull :: [(Bull, Bull -> Bull -> Bull)]
monoidsOnBull = filter monoid universe

让我们在ghci中查看：

> mapM_ print monoidsOnBull
(Twoo,[(Fools,[(Fools,Fools),(Twoo,Fools)]),(Twoo,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)])])
(Fools,[(Fools,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)]),(Twoo,[(Fools,Twoo),(Twoo,Fools)])])
(Twoo,[(Fools,[(Fools,Twoo),(Twoo,Fools)]),(Twoo,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)])])
(Fools,[(Fools,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)]),(Twoo,[(Fools,Twoo),(Twoo,Twoo)])])

（旁白：我们应该如何阅读此输出？嗯，Universe包显示类型a -> b的函数，方法是显示类型[(a, b)]的图形，即输入和输出对的列表。上面输出的每一行都是一个元组，在第一部分中有一个合适的mempty，在第二部分中有一个合适的mappend。）

那么这些幺半群做什么？让我们一次拿一个：

(Twoo,[(Fools,[(Fools,Fools),(Twoo,Fools)]),(Twoo,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)])])

除非两个输入均为mappend，否则Fools输出Twoo。也就是说，这是Bull相当于(&&)。在(&&)的案例中，True的身份为Twoo - 或Bull。

(Fools,[(Fools,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)]),(Twoo,[(Fools,Twoo),(Twoo,Fools)])])

如果两个输入相等，则此mappend输出Fools，否则输出Twoo。您可以将此视为Bool上的xor，或者1位数字上的两个补码。它的身份是Fools（或零）。

(Twoo,[(Fools,[(Fools,Twoo),(Twoo,Fools)]),(Twoo,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)])])

这个就像最后一个，但在任何地方都被否定了。

(Fools,[(Fools,[(Fools,Fools),(Twoo,Twoo)]),(Twoo,[(Fools,Twoo),(Twoo,Twoo)])])

这个就像第一个，但到处都是否定的。它也恰好与(||) Bool上的False一样，其身份为base。

这结束了讲座，但还有另外两个有趣的补充说明。

首先，当mappend分别为(&&)和(||)时，Monoid会提供All和Any幺半群。据我所知，没有一个合适的新类型可以得到xor或它的否定为Num;但是你可以通过为Bool声明一个Word1实例来伪造它（使用False直觉True为0而Sum Bool为1）来获取它data Color = Red | Green | Blue。

第二，这里的另一个答案是：> length monoidsOnColor 33有什么幺半群？我们现在有了解决这个问题的所有机制，并确认实际上有很多幺半群：

{{1}}

我鼓励您尝试构建将所有内容列出的代码，并通过它们查看您可以获得的见解！

Answer 3

对于给定集合（或类型，在Haskell中）没有单个monoid。实际上，monoid中的标识不是由定义它的集合决定的，而是由操作（在Haskell中称为mappend）决定的。例如，可以在添加（带有标识0）或产品（带有标识1）时定义整数上的幺半群。

这就是Sum和Product类型存在的原因：因为在Monoid集上有Num a => a类型类的多种可能实现，我们更喜欢换行将其转换为newtype并在包装类型上定义Monoid实现。

Bool类型有All类似的结构，在{（1 {1}}）的联合（(&&)）下的布尔值为monoid，标识为True，Any，在具有身份(||)的分离（False）下的布尔值上的幺半群。事实上，布尔可以在许多其他操作（例如XOR和XNOR门）上形成幺半群。

由于Bull类型与Bool类型同构（两者都有两个无效的构造函数），因此您可以通过Monoid上Bool的实现来激发自己的灵感，但是我们无法通过进一步的背景来确定哪种实现最适合您的情况。

另外，正如Anton Xue所提到的，即使你能为Bull定义一个幺半群，它真的有意义吗？你的类型应该代表什么？

这种类型的身份是什么？

3 个答案: