当输出具有随机行为时，如何执行多元多项式回归？

Question

我正在模拟实验。该实验具有3个参数a，b，c（变量？）但是结果r不能被“预测”，因为它具有随机分量。为了最小化随机分量，我已经多次运行这个实验（n）。所以在简历中我有n个4元组a，b，c，r，其中a，b，c是相同的，但r是变化的。每批实验都运行a，b，c（k批次）的不同值，使得完整的数据集具有k次n组4元组。

我想找出适合这些数据的最佳多项式，以及如何比较它们：

fit1：与

fit2：与

fit3：一些三次多项式函数和相应的误差

fit4：另一个3度（更简单）的多项式函数和相应的误差

依旧......

这可以用R或Matlab ^®完成。我搜索并找到了很多例子，但是没有一个处理不同输出的相同输入值。

我考虑过进行多元多项式回归n次，为每个参数增加一些小的delta，但在此之前我宁愿采用更清洁的溶剂。

任何帮助都将不胜感激。

提前致谢， 雅克

Answer 1

多项式回归应该能够很好地处理随机模拟。只需模拟r，n次，并对您模拟的所有点执行多元多项式回归（我建议polyfitn()）。

对于相同的r，您有多个[a,b,c]值，但合适的曲线应该能够估计真实的分布。

在polyfitn中，它看起来像这样

 n = 1000;
 a = rand(500,1);
 b = rand(500,1);
 c = rand(500,1);
 for n = 1:1000
    for i = 1:length(a)
       r(n,i) = foo(a,b,c);
    end
 end   

 my_functions = {'a^2 b^2 c^2  a  b  c',...};
 for fun_id = 1:length(my_functions)   
      p{f_id} = polyfitn(repmat([a,b,c],[n,1]),r(:),myfunctions{fun_id})
 end

从基函数迭代地/递归地生成一组多项式方程并不困难。但对于三个变量，可能没有必要。除非你有一个特定的理由来拟合高阶多项式（行星物理学，粒子物理学等物理学），否则你不应该有太多的函数来拟合。除非您有特定的理由这样做（过度拟合的风险，稀疏的数据互变噪声，更准确的非线性方法），否则使用高阶多项式来解释数据通常不是一种好的做法。