如何在d维球中循环网格

Question

我在d维空间中有一个网格（节点之间的距离等于1）。现在我想循环遍历半径为r的d维球（原点中心）内的所有网格点。当然，我可以使用边长2r遍历d维盒子中的所有网格点，并检查它们是否位于球中。但是，特别是对于大d，这将浪费资源（盒子中的大多数网格点不在球内）。

Answer 1

通过减小剩余超平面中的大小，您可以在所有d维度中略微改进超立方体[-r，r]中的搜索。基本原理是，当您处于特定坐标时，剩余超平面的剩余半径定义为：

new_radius = sqrt(old_radius^2 - current_coordinate^2)

您可以在伪代码中使用递归算法

define function loop(dim, radius)    # will return a list of lists
    let l be the empty list
    loop for coord=0; coord<radius; coord = coord + 1
        newr = sqrt(old_radius^2 - coord^2)
        if dim is 1
            then append singleton list [coord] to l
        else
            for any list l1 in loop(dim-1, nr)
                append [coord] + l1 to l
        return l

这个算法只处理正坐标，但是当x不为空时，除了x之外，还可以通过处理-x来轻松扩展处理负坐标。