Question

我们知道几何级数中的n项之和由下式给出如果序列的形式为a1，a1 * r，a1 * r ^ 2，a1 * r ^ 3 ...... a1 * r ^ n，则Sn = a1（1-r ^ n）/（1-r）。

现在我修改了几何级数，其中系列是形式 a1，（a1 * r）mod p，（a1 * r ^ 2）mod p，（a1 * r ^ 3）mod p .....（a1 * r ^ n）mod p其中a1是初始项， p是素数，r是常用比率。该系列的第N个术语由下式给出：（a1 * r ^ n-1）mod p。

我正在尝试获得上述修改后的GP的求和公式并且非常努力地努力。如果有人可以对它进行一些说明，或者建议找到有效的算法来求和，而不需要迭代所有n个术语，那将会有很大的帮助。

Answer 1

请注意，如果r是primitive root modulo p。然后我们可以降低总和的复杂性。

我们必须找到S = a1*1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^n。然后我们以封闭的形式将S写为S = a1*(r^n - 1) / (r - 1)。

现在可以简化为：

 a1*(r^n - 1) / (r - 1) = S (mod p)
=> a1*r^n = S * (r - 1) + 1 (mod p)

现在采用离散对数和基数r两边，

   log(a1*r^n) = log_r(S*(r-1) + 1 (mod p))
   =>log_r(a1) + n*log_r(r) = log_r(S*(r-1) + 1 (mod p))
   =>n*log_r(r) = log_r(S*(r-1) + 1 (mod p)) - log_r(a1) (mod(p-1))
   =>n*1 = log_r(S*(r-1) + 1 (mod (p-1))) - log_r(a1) (mod (p-1))

请注意，如果a1为1，则最后一个字词为0。

设S = 6，r = 3，m = 7，a1 = 1。然后，我们想要在以下一致性中求解n：

     (3^n - 1)/(3 - 1) = 6 (mod 7)
=> 3^n - 1 = (3 - 1) * 6 (mod 7)
=> 3^n = 2 * 6 + 1 (mod 7)
=> 3^n = 6 (mod 7)

然后我们采取双方的discrete logarithm：

     log_3(3^n) = log_3(6) (mod (7-1))
=> n * log_3(3) = log_3(6) (mod 6)
=> n * 1 = 3 (mod 6)
=> n = 3 (mod 6)

所以，n = 3。

您可以使用Baby-step Giant-step算法在O(sqrt(m))中解决此问题。如果你想在代码中实现我将为你提供。

Answer 2

主要关系是相同的，总和x是

的解决方案

a1*(r^N-1) = (r-1)*x mod p.

难以观察到p和r-1可能有公约除数，这不是真正的问题，因为r-1分为r^N-1，但仍需要小心处理

模块化除法可以通过与逆相乘来实现，并且可以通过扩展的欧几里德算法来计算。

的任何实施

 d,u,v = XGCD(r-1,p)

返回最大公约数d和Bezout因子u,v，以便

u*(r-1)+v*p = d

与f/d，f = a1*(r^N-1)相乘会产生

(u*f/d)*(r-1) + (v*f/d)*p = f = a1*(r^N-1)

以便可以将解决方案标识为x = u*(f/d)。因此，实施将遵循

的路线

 rN = powmod(r,N,p)
 f = a1*(rN-1) mod p

 d,u,v = XGCD(r-1,p)

 return u*(f/d) mod p

修正几何级数中的模运算

2 个答案: