结合两个正常的随机变量

Question

假设我有以下2个随机变量：

X，其中mean = 6，stdev = 3.5
Y表示平均值= -42且stdev = 5

我想基于前两个创建一个新的随机变量Z并且知道：X发生在90％的时间，Y发生在10％的时间。

很容易计算Z的平均值：0.9 * 6 + 0.1 * -42 = 1.2

但是可以在单个函数中为Z生成随机值吗？ 当然，我可以沿着这些方向做点什么：

if (randIntBetween(1,10) > 1)
    GenerateRandomNormalValue(6, 3.5);
else
    GenerateRandomNormalValue(-42, 5);

但我真的希望有一个函数可以作为这种随机变量（Z）的概率密度函数，而这个函数不是正常的。

抱歉蹩脚的伪代码

感谢您的帮助！

编辑：这将是一个具体的审讯：

假设我们从Z中添加5个连续值的结果。以高于10的数字结束的概率是多少？

Answer 1

  

但我真的想要一个   作为一个单一的功能   这种概率密度函数   随机变量（Z）不是   必要的正常。

好的，如果你想要密度，这里是：

rho = 0.9 * density_of_x + 0.1 * density_of_y

但是你不能从这个密度中取样，如果你不1）计算它的CDF（繁琐但不可行）2）反转它（你需要一个数值求解器）。或者您可以rejection sampling（或变体，例如重要性抽样）。这样做既昂贵又难以做到。

所以你应该去找“if”语句（即调用生成器3次），除非你有非常强烈的理由（例如使用准随机序列）。

Answer 2

如果随机变量表示为x =（mean，stdev），则应用以下代数

number * x = ( number*mean, number*stdev )

x1 + x2 = ( mean1+mean2, sqrt(stdev1^2+stdev2^2) )

因此对于X =（mx，sx），Y =（my，sy）的情况，线性组合是

Z = w1*X + w2*Y = (w1*mx,w1*sx) + (w2*my,w2*sy) = 
    ( w1*mx+w2*my, sqrt( (w1*sx)^2+(w2*sy)^2 ) ) =
    ( 1.2, 3.19 )

link：Normal Distribution查找杂项部分，第1项。

PS。抱歉，这是一个奇怪的符号。新的标准偏差是通过类似于pythagorian定理的计算得出的。它是平方和的平方根。

Answer 3

这是分发的形式：

ListPlot[BinCounts[Table[If[RandomReal[] < .9,
    RandomReal[NormalDistribution[6, 3.5]], 
    RandomReal[NormalDistribution[-42, 5]]], {1000000}], {-60, 20, .1}], 
    PlotRange -> Full, DataRange -> {-60, 20}]

这不是正常的，因为你没有添加正常变量，只是选择一个或另一个具有一定概率。

修改

这是使用此分布添加五个变量的曲线：

上峰和下峰表示仅取一个分布，中间峰表示混合。

Answer 4

最直接和最普遍适用的解决方案是模拟问题：

运行分段函数，你有1,000,000（只是一个很高的数字）次数，生成结果的直方图（通过将它们分成垃圾箱，并将每个垃圾箱的计数除以你的N（在我的例子中为1,000,000）。将为每个给定的bin中的Z的PDF留下近似。

Answer 5

这里有很多未知数，但基本上你只是希望将两个（或更多）概率函数相互添加。

对于任何给定的概率函数，您可以通过计算概率曲线下的面积（积分）计算具有该密度的随机数，然后生成0和该区域之间的随机数。然后沿曲线移动，直到该区域等于您的随机数，并将其用作您的值。

然后可以将此过程推广到任何函数（或两个或更多函数的总和）。

<强>精化： 如果你有一个分布函数f（x），范围从0到1.你可以通过计算f（x）从0到1的积分来计算一个随机数，给你曲线下面积，让叫它A。

现在，您生成一个介于0和A之间的随机数，让我们调用该数字r。现在你需要找到一个值t，这样f（x）从0到t的积分等于r。 t是你的随机数。

此过程可用于任何概率密度函数f（x）。包括两个（或更多）概率密度函数的总和。

我不确定你的功能是什么样的，所以不确定你是否能够计算所有这些的分析解决方案，但更糟糕的情况是，你可以使用数字技术来近似效果。