Question

我正在练习算法并遇到了这个问题。我无法解决它。我阅读了所提供的社论，但它没有解释解决方案背后的概念或想法。这是问题链接（Question）。

问题陈述 - ＆gt;

N 男生围成一圈。他们每个人手里都有一些苹果。您会发现苹果的总数可以除以 N 。所以你想要在所有男孩中平分苹果。但他们是如此懒惰，以至于他们每个人都只想一步给一个邻居一个苹果。计算使每个男孩拥有相同数量苹果的最小步数。

输入 - ＆GT;第一行输入是整数 N ，第二行包含N个数字，表示 i 男孩的苹果数。

输出 - ＆gt;使每个男孩拥有相同数量的苹果的最少步数。

以下是官方实施：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 10001
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    int n,a[10000],avg;
    LL b[mod],val=0,s=0,m;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        s+=a[i];
    }
    avg=s/n;
    b[0]=0;
    for(int i = 0; i < n-1; i++){
        b[i+1] = b[i]+a[i]-avg;
    }
    sort(b,b+n);
    m = -b[n/2];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        val += abs(b[i]+m);
    }
    cout<<val;
    return 0;
}

我正在寻找上述代码/逻辑的解释。它是如何给出最少的步骤？欢迎任何替代解决方案/方法（不一定是代码），但请解释您的方法。

如果有任何不明确的地方，请访问该链接或在评论部分询问。

Answer 1

这是一个应该有用的代码注释版本，但基本上，这个想法是，由于每个步骤，只有一个苹果可以移动一个空间，所需的步骤数是需要移动的苹果数量+每个苹果需要移动的步数。这是为什么好的注释/ var名称很重要的一个例子，特别是当使用像这样的复杂算法时。

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 10001
using namespace std;
typedef long long LL;
int main()
{
    int n,apples[10000],avg;
    LL b[mod],val=0,sum=0,median;

    // Read number of boys
    cin>>n;

    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        // Read i'th boy's # of apples
        cin>>apples[i];
        // And add to sum while while we are at it.
        sum+=apples[i];
    }

    // Get average (desired apples per boy)
    avg=sum/n;
    // Clear value of first index
    b[0]=0;
    // Assuming only passing right, 
    // How many apples does boy[i] need to pass right? 
    // (Negative value means needs to pass left.)
    for(int i = 0; i < n-1; i++){
        // Apples this boy needs + needs to pass along
        b[i+1] = b[i]+apples[i]-avg;
    }

    // Sort passes
    sort(b,b+n);
    // Take median, save as negative number
    median = -b[n/2];
    // Sum deference of all passes from the median. 
    // (negate steps where both boys needs are met by same pass)
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        val += abs(b[i]+median);
    }

    cout<<val;
    return 0;
}

这就是代码正在做的事情，但是其他人需要在另一个答案中添加正确性证明。

Answer 2

这是我解释为什么算法正确的原因：

b数组告诉我们第i个男孩应该向右传递多少个苹果，以便他拥有平均数量的苹果（这是目标）。如果该值为负，则表示他需要将苹果向左传递。数组b考虑到先前男孩传递的苹果。您可以这样想：如果第一个男孩在开始时的苹果数量超出平均水平，b[1]告诉我们这个第一个男孩应该传递给右边的苹果数量。但是，如果他的数据少于开始时的平均值，则b[1]告诉我们第二个男孩应该传给左边多少个苹果。在这种情况下，该值将为负。尽管索引1现在指向另一个人，但这并不重要，因为我们只对要传递的苹果总量感兴趣。在此之后，所有其他值b[i]都会强制执行，只要我们认为男孩没有任何理由来回传递苹果。

事情来了：在上面我们已经看到，如果每个人都通过b[i]数量的苹果，我们最终将得到每个人的平均数量。现在，如果每个人都通过b[i] + x个苹果，而x是一个任意数字怎么办？我们最终也会让每个人都拥有平均金额！为什么？因为在那种情况下，给定的人将向右传递x个苹果，但另一方面，他将从左向他的那个人那里获取x更多的苹果，因此最终他将拥有与每个人i通过b[i]苹果的苹果一样多。如果每个人i都通过b[i]个苹果，则通过的苹果总数将为abs(b[0]) + abs(b[1]) + … + abs(b[n-1])。但是，我们知道，我们也可以通过让男孩为每个b[i] + x传递x个苹果来达到目标。我们的目标是使通过的苹果总数减少到最小。换句话说，我们的目标是使表达式abs(b[0] - x) + abs(b[1] - x) + … + abs(b[n-1] - x)的值最小。因此，我们必须找到一个值x，以使该总和最小。事实证明，数字b[i]的中位数始终是最佳解决方案。这是为什么？现在考虑选择一个大于中位数的数字。在那种情况下，我们可以通过减小x来使总和更小，因为当前数字的左边比当前数字的右边多，因为我们在中间数的右边。从中位数的定义得出。如果我们选择x小于中位数，则情况是对称的。因此，中位数本身将始终是最佳解决方案。如果数字的数量为偶数，并且我们有两个中位数，则两者均将是最优值，并且两者之间也可以是任意数字。

要注意的一件事：我们开头分配给b[0]的值根本没有关系！您可以将代码中的该行更改为b[0] = 2356235；或任何您喜欢的东西，您将看到该程序运行正常。所有其他值将基于该值确定。您可以这样想。实际上，只要其他所有人都相应采取行动，第一人称多少苹果就可以了。通过选择b[0] = 0，我们简单地找到了一种平均分配苹果的方法。但是，这种通过苹果的方式不一定是最佳的。这就是为什么我们使用中位数技巧来找到最佳技巧。

我希望这会有所帮助。

给定一个整数数组，找到使每个值相等的最小步数

2 个答案: