Question

我刚刚开始使用Mathematica，我已经得到了关于进行替换的一个非常基本的问题，但我无法让它工作。

我想找到函数phi [x，y]的函数的欧拉 - 拉格朗日方程，然后替换函数phi [x，y]

如果我输入以下内容：

VariationalD[tau*phi[x, y]^2 - 2*phi[x, y]^4 + phi[x, y]^6 + Dot[D[phi[x, y], {{x, y}}], D[phi[x, y, {{x, y}}]]], phi[x, y], {x, y}]

我得到了

Plus[Times[2,tau,phi[x,y]],Times[-8,Power[phi[x,y],3]],Times[6,Power[phi[x,y],5]],Times[-2,Plus[Derivative[0,2][phi][x,y],Derivative[2,0][phi][x,y]]]]

现在，如果我尝试% /. phi[x,y] -> phi0[x,y] + psi[x,y]，它会替换所有多项式项，但不能用于导数项。

如何强制替换这些功能？

Answer 1

我同意rcollyer所说的所有内容，但我认为他的最终解决方案可能有些不透明。

我能提出的最简单的规则（与rcollyer的基本相同）是

{phi[x__] :> phi0[x] + psi[x], f_[phi][x__] :> f[phi0][x] + f[psi][x]}

或副作用较小的东西

{phi[x__] :> phi0[x] + psi[x], Derivative[n__][phi][x__] :> Derivative[n][phi0][x] + Derivative[n][psi][x]}

如果Derivative具有Default属性（将Default[Times]与Default[Derivative]进行比较）会更容易。它应该类似Default[Derivative] := Sequence[]，但不幸的是，它与模式匹配效果不佳。

回到你的问题，你可能想要定义像

这样的东西

VariationalD[expr_, sym_, var_] := Module[{
  vRule = {sym[x__] :> sym[x] + var[x], 
    Derivative[n__][sym][x__] :> Derivative[n][sym][x] + Derivative[n][var][x]}}, 
  (expr /. vRule) - expr]

假设符号var的变体sym较小。当然，你需要做的是围绕var=0扩展系列，只保留线性部分。然后在具有var的导数的任何项上使用按部分的积分。所有这些都应该包含在上面的模块中。

Answer 2

首先，您在二阶导数词中错放了]，它应该是D[phi[x, y], {{x, y}}]]而不是D[phi[x, y, {{x, y}}]]]。

也就是说，Mathematica的替换可能很棘手，正如其他questions所指出的那样。这并不是说这是不可能的，只需要一些工作。在这种情况下，问题在于phi[x,y]与Derivative[2, 0][phi][x, y]不同。因此，您的模式将与衍生术语不匹配。最简单的方法是添加规则

Derivative[a__][phi][x__]:> Derivative[a][phi0][x] + Derivative[a][psi][x]

到您的替换规则列表。需要注意的三件事：1）我使用ReplaceDelayed，这样两种类型的衍生物都可以匹配而不需要编写多个规则，2）因为我可以使用模式，我将它们命名为我可以在RHS上引用它们规则和3）我在定义a和x时使用double underscore，它将匹配序列中的一个或多个项目。

当然，这不是解决问题的最令人满意的方法，因为每次希望进行这种替换时都需要编写两条规则。事实证明，一个更通用的方法难以实现，我将不得不回复你。

修改：这需要双重替换，如下所示

<result> /. phi -> phi0 + psi /. a_[b__][c__] :> Through[Distribute[a[b]][c]]

Distribute确保导数与Plus一起正常工作，而Through对函数args c执行相同操作。关键是Head的{{1}}是Derivative[2, 0][phi][x, y]，因此规则中有几个方括号。

如何在Mathematica中进行替换？

2 个答案: