McCarthy 91的功能如何运作

Question

我有以下基于McCarthy 91原则的功能：

mc91 :: Integer -> Integer
mc91 n
    | n > 100 = n - 10
    | otherwise = mc91 (mc91 (n + 11))

当我输入前奏mc91 85时，我有91。

我无法配置它，它是如何扩展的，为什么我有91。

Answer 1

让我们先分析一下这个功能。有两种情况：

• 在案例n > 100中，我们返回n-10;和
• 在n <= 100的情况下，我们计算n+11，然后我们执行两个附加步骤。

因此有两个可能的＆＃34;步骤＆＃34;：一个用10递减，一个用11递增。我们可以用图表来形象化，如：

第一种情况的边缘用黑色表示，后一种情况的边缘用红色表示。

我们注意到这里有一个循环：92 -> 103 -> 93 -> 104 -> 94 -> 105 -> 95 -> 106 -> 96 -> 107 -> 97 -> 108 -> 98 -> 109 -> 99 -> 110 -> 100 -> 111 -> 101 -> 91 -> ...

我们现在假设 - 无论原始值如何 - 我们总是会在那个循环中结束。现在，循环总是交错黑色边缘和红色边缘，但111 -> 101 -> 91部分除外，它由两个黑色边缘组成。

由于红色边缘引入了两个额外的递归调用，这意味着，如果我们采用红色跳跃，我们将免费获得下一个黑色和红色跳跃。下一个红色跃点将再次向＆＃34; todo列表＆＃34;添加两个递归调用。因此，如果我们在循环中开始，并且我们首先采用红色跳跃，我们将继续运行循环。只要我们不采用循环的111 -> 101 -> 91部分，这就成立了。由于这些是两个黑色边缘，我们可以退出执行的递归调用，因此停在91（因为我们总是每个红色跳跃得到两个额外的跳跃）。

结果，如果我们从循环中的某个节点开始并且我们立即采用红色跳跃，无论我们仍然需要做多少次递归调用，我们最终将停止在91：每次我们完成一个完整的循环，我们失去＆＃34;一个递归调用，所以最终我们将用完剩余的递归调用并在91中停止。所以现在我们知道如果我们开始，例如在94处有任意数量的递归调用，我们将停在91。

现在我们仍然需要证明 - 假设数字小于100 - 我们将在循环中结束，并且我们在循环中遇到的第一个节点是一个红色边缘开始的节点。我们知道91..100范围内的所有数字都在循环中。任何小于91的数字都将产生一个红色跳跃并将以11递增。因此 - 如图中部分所示 - 所有小于91的数字最终将在[91..100]范围内结束总是使用红色边缘。

基于上述推理，该函数的更有效版本将是：

mc91' n | n > 100 = n-10
        | otherwise = 91

现在，对于您给定的样本输入（85），我们看到该程序将评估为：

   mc91 85
-> mc91 (mc91 96) -- we are in the loop now
-> mc91 (mc91 (mc91 107))
-> mc91 (mc91 97)
-> mc91 (mc91 (mc91 108))
-> mc91 (mc91 98)
-> mc91 (mc91 (mc91 109))
-> mc91 (mc91 99)
-> mc91 (mc91 (mc91 110))
-> mc91 (mc91 100)
-> mc91 (mc91 (mc91 111))
-> mc91 (mc91 101)
-> mc91 91 -- we reached 91, and thus removed one recursive call
-> mc91 (mc91 102)
-> mc91 92
-> mc91 (mc91 103)
-> mc91 93
-> mc91 (mc91 104)
-> mc91 94
-> mc91 (mc91 105)
-> mc91 95
-> mc91 (mc91 106)
-> mc91 96
-> mc91 (mc91 107)
-> mc91 97
-> mc91 (mc91 108)
-> mc91 98
-> mc91 (mc91 109)
-> mc91 99
-> mc91 (mc91 110)
-> mc91 100
-> mc91 (mc91 111)
-> mc91 101
-> 91 -- we hit 91 a second time, and now the last recursive call is gone

Answer 2

让我们扩展你的代码：

mc91 85
mc91 (mc91 96)
mc91 (mc91 (mc91 107))
mc91 (mc91 97)
mc91 (mc91 (mc91 108))
mc91 (mc91 98)
mc91 (mc91 (mc91 109))
mc91 (mc91 99)
mc91 (mc91 (mc91 110))
mc91 (mc91 100)
mc91 (mc91 (mc91 111))
mc91 (mc91 101)
mc91 91... --It is a pattern here
...
mc91 101
91

如果您看到重复呼叫，您会发现它会在达到100或更高时减少它，结束(mc91 101)呼叫，这会给我们带来最后的91结果。