Question

我有两组整数，A和B，不一定大小相同。根据我的需要，我将每个2个元素a和b（整数）之间的距离设为abs(a-b)。

我定义了两组之间的距离如下：

如果集合具有相同的大小，则最小化所有对[a，b]的距离之和（a中的a和b中的a和b），最小化所有可能的“对分区”（有n个可能的分区））。
如果集合的大小不同，那么假设大小为的A和大小为n的B，其中m <1。 n，然后最小化（1）在尺寸为m的所有B子集上的距离。

我的问题是，根据上面的定义，以下算法（只是一个直观的猜测）给出了正确的答案。

使用D

m X n

D(i,j) = abs(A(i)-B(j))

找到D的最小元素，累加它，并删除该元素的行和列。累计下一个最小的条目，并继续累积，直到删除所有行和列。

例如，如果A={0,1,4}和B={3,4}，那么D是（上面和左边的元素）：

3 4

0 3 4

1 2 3

4 1 0

距离为0 + 2 = 2，来自将4与4和3与1配对。

Answer 1

请注意，此问题有时被称为滑雪板和滑雪者问题，其中您有n个滑雪板和滑雪者，其长度和高度各不相同。目标是将滑雪板与滑雪者相匹配，以便最大限度地减少高度和滑雪板长度之差的总和。

要解决这个问题，你可以使用最小权重二分匹配，这需要O（n ^ 3）时间。

更好的是，使用下面的简单动态编程算法，您可以使用O（n）额外内存实现O（n ^ 2）时间。

最理想的情况是，如果已使用此paper中描述的算法对点进行排序，则可以在线性时间内解决问题。

O（n ^ 2）动态规划算法：

if (size(B) > size(A))
  swap(A, B);
sort(A);
sort(B);
opt = array(size(B));
nopt = array(size(B));
for (i = 0; i < size(B); i++)
  opt[i] = abs(A[0] - B[i]);
for (i = 1; i < size(A); i++) {
  fill(nopt, infinity);
  for (j = 1; j < size(B); j++) {
    nopt[j] = min(nopt[j - 1], opt[j - 1] + abs(A[i] - B[j]));
  swap(opt, nopt);
}
return opt[size(B) - 1];

在上面外部i循环的每次迭代for之后，opt[j]包含使用元素{A[0],..., A[i]}匹配{B[0],..., B[j]}的最佳解决方案。

该算法的正确性依赖于以下事实：在任何最佳匹配中，如果a1与b1匹配，则a2与b2匹配，并且a1 <1。 a2，然后b1＆lt; = b2。

Answer 2

为了获得最佳效果，请在D上解决分配问题。

分配问题在二分图中找到完美匹配，使得总边缘权重最小化，从而完美地映射到您的问题。它也在P。

编辑解释OP的问题如何映射到作业。

为了简化说明，请使用特殊元素e_k扩展较小的集合。

设A是一组工人，B是任务集（内容只是标签）。

让成本为A和B中的元素之间的距离（即D的条目）。 e_k与任何内容之间的距离为0.

然后，我们希望找到A和B的完美匹配（即每个工人与任务匹配），从而使成本最小化。这个是分配问题。

Answer 3

否这不是最好的答案，例如： A：{3,7} 和 B：{0,4} 您将选择： {（3,4），（0,7）} < / strong>且距离为8，但您应选择 {（3,0），（4,7）} ，在这种情况下，距离为6。

Answer 4

您的答案给出了最小值的近似值，但不一定是最佳值。您正在遵循“贪婪”的方法，这种方法通常更容易，并且效果很好，但无法保证最佳答案。

两组可能不同尺寸之间的距离测量

4 个答案: