Scipy.optimize.curve_fit不符合余弦幂律

Question

现在几个小时，我一直试图将模型拟合到（生成的）数据集中，作为我一直在努力解决的问题。我为函数f（x）= A * cos ^ n（x）+ b生成了数据点，并添加了一些噪声。当我尝试使用此函数和curve_fit拟合数据集时，我得到错误

./tester.py:10: RuntimeWarning: invalid value encountered in power
return Amp*(np.cos(x))**n + b
/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/optimize/minpack.py:690: OptimizeWarning: Covariance of the parameters could not be estimated  category=OptimizeWarning)

我用来生成数据点并适合模型的代码如下：

#!/usr/bin/env python

from __future__ import print_function
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from matplotlib.pyplot import figure, show, rc, plot

def f(x, Amp, n, b):

    return np.real(Amp*(np.cos(x))**n + b)

x = np.arange(0, 6.28, 0.01)
randomPart = np.random.rand(len(x))-0.5
fig = figure()
sample = f(x, 5, 2, 5)+randomPart
frame = fig.add_subplot(1,1,1)

frame.plot(x, sample, label="Sample measurements")

popt, pcov = curve_fit(f, x, sample, p0=(1,1,1))

modeldata = f(x, popt[0], popt[1], popt[2])
print(modeldata)
frame.plot(x, modeldata, label="Best fit")

frame.legend()
frame.set_xlabel("x")
frame.set_ylabel("y")

show()

显示噪声数据 - 请参见下图。

你们中是否有人知道发生了什么？我怀疑它与进入复杂领域的幂律有关，因为函数的真正部分是nowhere divergent。我已经尝试仅返回函数的实部，在curve_fit中设置实际边界并使用numpy数组而不是p0的python列表。我正在运行最新版本的scipy，scipy 0.17.0-1。

Answer 1

问题如下：

>>> (-2)**1.1
(-2.0386342710747223-0.6623924280875919j)
>>> np.array(-2)**1.1
__main__:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in power
nan

与原生的python浮标不同，numpy double通常拒绝参与导致复杂结果的操作：

>>> np.sqrt(-1)
__main__:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
nan

作为一种快速解决方法，我建议为您的函数添加np.abs调用，并使用适当的边界进行拟合，以确保这不会产生虚假的拟合。如果你的模型接近事实并且你的样本（我的意思是样本中的余弦）是正的，那么在它周围添加一个绝对值应该是一个no-op（更新：我意识到这种情况从来不是这样，请参阅正确的方法下文）。

def f(x, Amp, n, b):

    return Amp*(np.abs(np.cos(x)))**n + b # only change here

通过这个小小的改变，我得到了这个：

作为参考，与(4.96482314, 2.03690954, 5.03709923])代相比，拟合中的参数为(5,2,5)。

在更多地考虑之后，我意识到余弦总是对你的一半领域是负面的（duh）。所以我建议的解决方法可能有点问题，或者至少它的正确性是非平凡的。另一方面，考虑包含cos(x)^n的原始公式，cos(x)的负值，只有n是一个整数才有意义作为模型，否则会得到复杂的结果。由于我们无法解决Diophantine拟合问题，我们需要妥善处理。

最恰当的方式（我指的是最不可能偏向数据的方式）是这样的：首先使用将数据转换为复数的模型进行拟合，然后在输出上采用复杂的幅度：

def f(x, Amp, n, b):

    return Amp*np.abs(np.cos(x.astype(np.complex128))**n) + b

这显然比我的解决方法效率低得多，因为在每个拟合步骤中我们创建一个新的网格，并以复杂算术和额外的大小计算的形式做一些额外的工作。即使没有设置边界，这也给我以下拟合：

参数为(5.02849409, 1.97655728, 4.96529108)。这些也很接近。但是，如果我们将这些值放回到实际模型中（没有np.abs），我们会得到与-0.37一样大的虚部，这不是很大但很重要。

所以第二步应该用适当的模型重做拟合 - 一个具有整数指数的模型。从你的拟合中取出明显的指数2，并用这个模型做一个新的拟合。我不相信任何其他方法会给你一个数学上合理的结果。你也可以从原来的popt开始，希望它确实接近真相。当然，我们可以使用原始功能进行一些调整，但使用专用的双特定版本的模型要快得多。

from __future__ import print_function
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
from matplotlib.pyplot import subplots, show

def f_aux(x, Amp, n, b):
    return Amp*np.abs(np.cos(x.astype(np.complex128))**n) + b

def f_real(x, Amp, n, b):
    return Amp*np.cos(x)**n + b


x = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)  # pi
randomPart = np.random.rand(len(x)) - 0.5
sample = f(x, 5, 2, 5) + randomPart

fig,(frame_aux,frame) = subplots(ncols=2)
for fr in frame_aux,frame:
    fr.plot(x, sample, label="Sample measurements")
    fr.legend()
    fr.set_xlabel("x")
    fr.set_ylabel("y")

# auxiliary fit for n value
popt_aux, pcov_aux = curve_fit(f_aux, x, sample, p0=(1,1,1))

modeldata = f(x, *popt_aux)
#print(modeldata)
print('Auxiliary fit parameters: {}'.format(popt_aux))
frame_aux.plot(x, modeldata, label="Auxiliary fit")

# check visually, test if it's close to an integer, but otherwise
n = np.round(popt_aux[1])

# actual fit with integral exponent
popt, pcov = curve_fit(lambda x,Amp,b,n=n: f_real(x,Amp,n,b), x, sample, p0=(popt_aux[0],popt_aux[2]))

modeldata = f(x, popt[0], n, popt[1])
#print(modeldata)
print('Final fit parameters: {}'.format([popt[0],n,popt[1]])) 
frame.plot(x, modeldata, label="Best fit")

frame_aux.legend()
frame.legend()

show()

请注意，我在代码中更改了一些并不会影响我的观点。从上面的数字，所以显示辅助适合和正确的一个：

输出：

Auxiliary fit parameters: [ 5.02628994  2.00886409  5.00652371]
Final fit parameters: [5.0288141074549699, 2.0, 5.0009730316739462]

重申一下：虽然辅助配合和正确配合之间可能没有视觉差异，但只有后者才能为您的问题提供有意义的答案。