如何有效地模拟伯努利随机变量的总和？

Question

我使用Perl来建模一个随机变量（Y），它是一些~15-40k个独立伯努利随机变量（X_i）的总和，每个变量具有不同的成功概率{{{ 1}}）。形式上，p_i Y=Sum{X_i}和Pr(X_i=1)=p_i。

我有兴趣快速回答Pr(X_i=0)=1-p_i（其中Pr(Y<=k)已提供）等问题。

目前，我使用随机模拟来回答此类查询。我根据k随机抽取每个X_i，然后将所有p_i值相加得到X_i。我重复这个过程几千次并返回Y'次的分数。

显然，这并不完全准确，但随着我使用的模拟数量的增加，准确度会大大提高。

你能想出一个合理的方法来获得确切的概率吗？

Answer 1

首先，为了达到这个目的，我会避免使用rand内置过于依赖底层C库实现是可靠的（例如，请参阅我的blog post指出Windows上rand的范围具有基数32,768）。

要使用蒙特卡罗方法，我将从一个已知良好的随机生成器开始，例如Rand::MersenneTwister或者只使用Random.org的一个服务并为{{预先计算CDF 1}}假设Y非常稳定。如果每个Y仅使用一次，那么预先计算CDF显然是毫无意义的。

引用Wikipedia：

  

在概率论和统计学中， 泊松二项分布 是独立伯努利试验总和的离散概率分布。

     

换句话说，它是 n 序列中成功次数的概率分布，独立的是/否实验，成功概率 p1，...，pn 。 （强调我的）

Closed-Form Expression for the Poisson-Binomial Probability Density Function可能会引起人们的兴趣。这篇文章是付费墙的背后：

  

我们讨论了它在计算速度和实现以及简化分析方面的几个优点，后者的例子包括矩的计算和二项式系数和二项式累积分布函数（cdf）的新三角恒等式的开发。

Answer 2

据我所知，这不应该像正态分布一样渐渐渐近吗？另请参阅此新闻组主题：http://newsgroups.derkeiler.com/Archive/Sci/sci.stat.consult/2008-05/msg00146.html

如果是，您可以使用Statistics::Distrib::Normal。

Answer 3

要获得准确的解决方案，您可以利用the probability distribution of the sum of two or more independent random variables is the convolution of their individual distributions. Convolution有点贵的事实，但只有在p_i更改时才必须计算。

一旦获得概率分布，就可以通过计算概率的累积和来轻松获得CDF。