T(i) = Tm(i) + (T(i-1)-Tm(i))**(-tau(i))
Tm和tau是之前已计算过的长度相同的NumPy向量，并且希望创建一个新向量T。仅包括i以指示所需内容的元素索引。
这种情况需要for循环吗？
答案 0 :(得分：17)
您可能认为这样可行：
import numpy as np
n = len(Tm)
t = np.empty(n)
t[0] = 0 # or whatever the initial condition is
t[1:] = Tm[1:] + (t[0:n-1] - Tm[1:])**(-tau[1:])
但事实并非如此：你不能以这种方式实际进行numpy的递归（因为numpy会计算整个RHS，然后将其分配给LHS）。
因此，除非您能够提出此公式的非递归版本，否则您将陷入显式循环：
tt = np.empty(n)
tt[0] = 0.
for i in range(1,n):
tt[i] = Tm[i] + (tt[i-1] - Tm[i])**(-tau[i])
答案 1 :(得分：10)
在某些情况下，可能会有这种递归 - 即如果递归公式有NumPy ufunc，例如
c = numpy.arange(10.)
numpy.add(c[:-1], c[1:], c[1:])
使用c的输出参数计算numpy.add的累计和。它不能写成
c[1:] = c[:-1] + c[1:]
因为现在添加的结果是临时的，在计算完成后会复制到c[1:]。
现在最自然的尝试是定义自己的ufunc：
def f(T, Tm, tau):
return Tm + (T - Tm)**(-tau)
uf = numpy.frompyfunc(f, 3, 1)
但由于我之外的原因，以下方法无效：
uf(T[:-1], Tm[1:], tau[1:], T[1:])
显然，结果不会直接写入T[1:]，而是存储在临时表中并在完成操作后复制。即使它有效，我也不希望与普通循环相比有任何加速，因为它需要为每个条目调用Python函数。
如果你真的想避免Python循环，你可能需要选择Cython或ctypes。
答案 2 :(得分：6)
我执行了一些基准测试，并且在2018年使用 Numba 是人们应该尝试加速Numpy中的递归函数的第一个选项（Aronstef提议）。 Numba已经预装在Anaconda软件包中，并且速度最快（比任何Python快20倍）。在2018年，Python支持@numba注释而无需额外的步骤（至少版本3.6和3.7）。以下是两个基准：一个在2018-10-20执行，另一个在2016-05-18执行。
而且，正如Jaffe所说，在2018年，仍然无法对递归函数进行矢量化。我检查了Aronstef的矢量化，它不起作用。
按执行时间排序的基准：
-----------------------------------
|Variant |2018-10 |2016-05 |
-----------------------------------
|Pure C | na | 2.75 ms|
|C extension | na | 6.22 ms|
|Cython float32 | 1.01 ms| na |
|Cython float64 | 1.05 ms| 6.26 ms|
|Fortran f2py | na | 6.78 ms|
|Numba float32 | 2.81 ms| na |
|(Aronstef) | | |
|Numba float64 | 5.28 ms| na |
|Append to list |48.2 ms|91.0 ms|
|Using a.item() |58.3 ms|74.4 ms|
|np.fromiter() |60.0 ms|78.1 ms|
|Loop over Numpy|71.9 ms|87.9 ms|
|(Jaffe) | | |
|Loop over Numpy|74.4 ms| na |
|(Aronstef) | | |
-----------------------------------
答案末尾提供了相应的代码。
我没有在2018年检查Pure C，但我认为它仍然是基于之前基准的最快版本。
我也没有在2018年检查C扩展，我认为它与基于之前基准的Cython几乎相同。
Fortran很难调试和编译，因此我没有在2018年检查f2py版本。而且它比Cython更糟糕。
我在2018年进行了以下设置：
Processor: Intel i7-7500U 2.7GHz
Versions:
Python: 3.7.0
Numba: 0.39.0
Cython: 0.28.5
Numpy: 1.15.1
使用float32（来自Aronstef）推荐的 Numba 代码：
@numba.jit("float32[:](float32[:], float32[:])", nopython=False, nogil=True)
def calc_py_jit32(Tm_, tau_):
tt = np.empty(len(Tm_),dtype="float32")
tt[0] = Tm_[0]
for i in range(1, len(Tm_)):
tt[i] = Tm_[i] - (tt[i-1] + Tm_[i])**(-tau_[i])
return tt[1:]
所有其他代码：
数据创建（如Aronstef + Mike T评论）：
np.random.seed(0)
n = 100000
Tm = np.cumsum(np.random.uniform(0.1, 1, size=n).astype('float64'))
tau = np.random.uniform(-1, 0, size=n).astype('float64')
ar = np.column_stack([Tm,tau])
Tm32 = Tm.astype('float32')
tau32 = tau.astype('float32')
Tm_l = list(Tm)
tau_l = list(tau)
2016年的代码略有不同，因为我使用abs（）函数来防止nans而不是Mike T.的变体。在2018年，该函数与OP（原始海报）写的完全相同。
使用Jupyter %% magic Cython float32 。该函数可以直接在Python中使用。 Cython需要一个编译Python的C ++编译器。安装正确版本的Visual C ++编译器（适用于Windows）可能会出现问题：
%%cython
import cython
import numpy as np
cimport numpy as np
from numpy cimport ndarray
cdef extern from "math.h":
np.float32_t exp(np.float32_t m)
@cython.boundscheck(False)
@cython.wraparound(False)
@cython.infer_types(True)
@cython.initializedcheck(False)
def cy_loop32(np.float32_t[:] Tm,np.float32_t[:] tau,int alen):
cdef np.float32_t[:] T=np.empty(alen, dtype=np.float32)
cdef int i
T[0]=0.0
for i in range(1,alen):
T[i] = Tm[i] + (T[i-1] - Tm[i])**(-tau[i])
return T
Cython float64 使用Jupyter %% magic。该函数可以直接在Python：
%%cython
cdef extern from "math.h":
double exp(double m)
import cython
import numpy as np
cimport numpy as np
from numpy cimport ndarray
@cython.boundscheck(False)
@cython.wraparound(False)
@cython.infer_types(True)
@cython.initializedcheck(False)
def cy_loop(double[:] Tm,double[:] tau,int alen):
cdef double[:] T=np.empty(alen)
cdef int i
T[0]=0.0
for i in range(1,alen):
T[i] = Tm[i] + (T[i-1] - Tm[i])**(-tau[i])
return T
Numba float64：
@numba.jit("float64[:](float64[:], float64[:])", nopython=False, nogil=True)
def calc_py_jit(Tm_, tau_):
tt = np.empty(len(Tm_),dtype="float64")
tt[0] = Tm_[0]
for i in range(1, len(Tm_)):
tt[i] = Tm_[i] - (tt[i-1] + Tm_[i])**(-tau_[i])
return tt[1:]
附加到列表。最快的非编译解决方案：
def rec_py_loop(Tm,tau,alen):
T = [Tm[0]]
for i in range(1,alen):
T.append(Tm[i] - (T[i-1] + Tm[i])**(-tau[i]))
return np.array(T)
使用a.item（）：
def rec_numpy_loop_item(Tm_,tau_):
n_ = len(Tm_)
tt=np.empty(n_)
Ti=tt.item
Tis=tt.itemset
Tmi=Tm_.item
taui=tau_.item
Tis(0,Tm_[0])
for i in range(1,n_):
Tis(i,Tmi(i) - (Ti(i-1) + Tmi(i))**(-taui(i)))
return tt[1:]
<强> np.fromiter（）：
def it(Tm,tau):
T=Tm[0]
i=0
while True:
yield T
i+=1
T=Tm[i] - (T + Tm[i])**(-tau[i])
def rec_numpy_iter(Tm,tau,alen):
return np.fromiter(it(Tm,tau), np.float64, alen)[1:]
绕过Numpy（基于Jaffe的想法）：
def rec_numpy_loop(Tm,tau,alen):
tt=np.empty(alen)
tt[0]=Tm[0]
for i in range(1,alen):
tt[i] = Tm[i] - (tt[i-1] + Tm[i])**(-tau[i])
return tt[1:]
循环Numpy（Aronstef的代码）。在我的计算机上float64是np.empty的默认类型。
def calc_py(Tm_, tau_):
tt = np.empty(len(Tm_),dtype="float64")
tt[0] = Tm_[0]
for i in range(1, len(Tm_)):
tt[i] = (Tm_[i] - (tt[i-1] + Tm_[i])**(-tau_[i]))
return tt[1:]
纯C ，根本不使用Python。 2016年版本（使用fabs（）函数）：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <windows.h>
#include <sys\timeb.h>
double randn() {
double u = rand();
if (u > 0.5) {
return sqrt(-1.57079632679*log(1.0 - pow(2.0 * u - 1, 2)));
}
else {
return -sqrt(-1.57079632679*log(1.0 - pow(1 - 2.0 * u,2)));
}
}
void rec_pure_c(double *Tm, double *tau, int alen, double *T)
{
for (int i = 1; i < alen; i++)
{
T[i] = Tm[i] + pow(fabs(T[i - 1] - Tm[i]), (-tau[i]));
}
}
int main() {
int N = 100000;
double *Tm= calloc(N, sizeof *Tm);
double *tau = calloc(N, sizeof *tau);
double *T = calloc(N, sizeof *T);
double time = 0;
double sumtime = 0;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
Tm[i] = randn();
tau[i] = randn();
}
LARGE_INTEGER StartingTime, EndingTime, ElapsedMicroseconds;
LARGE_INTEGER Frequency;
for (int j = 0; j < 1000; j++)
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
QueryPerformanceFrequency(&Frequency);
QueryPerformanceCounter(&StartingTime);
rec_pure_c(Tm, tau, N, T);
QueryPerformanceCounter(&EndingTime);
ElapsedMicroseconds.QuadPart = EndingTime.QuadPart - StartingTime.QuadPart;
ElapsedMicroseconds.QuadPart *= 1000000;
ElapsedMicroseconds.QuadPart /= Frequency.QuadPart;
if (i == 0)
time = (double)ElapsedMicroseconds.QuadPart / 1000;
else {
if (time > (double)ElapsedMicroseconds.QuadPart / 1000)
time = (double)ElapsedMicroseconds.QuadPart / 1000;
}
}
sumtime += time;
}
printf("1000 loops,best of 3: %.3f ms per loop\n",sumtime/1000);
free(Tm);
free(tau);
free(T);
}
Fortran f2py。功能可以在Python中使用。 2016年版（带abs（）函数）：
subroutine rec_fortran(tm,tau,alen,result)
integer*8, intent(in) :: alen
real*8, dimension(alen), intent(in) :: tm
real*8, dimension(alen), intent(in) :: tau
real*8, dimension(alen) :: res
real*8, dimension(alen), intent(out) :: result
res(1)=0
do i=2,alen
res(i) = tm(i) + (abs(res(i-1) - tm(i)))**(-tau(i))
end do
result=res
end subroutine rec_fortran
答案 3 :(得分：5)
更新：21-10-2018 我根据评论纠正了我的答案。
只要计算不是递归的，就可以对向量进行矢量化操作。因为递归操作取决于先前计算的值，所以不可能并行处理操作。 因此，这不起作用：
def calc_vect(Tm_, tau_):
return Tm_[1:] - (Tm_[:-1] + Tm_[1:]) ** (-tau_[1:])
由于（串行处理/循环）是必要的，通过尽可能接近优化的机器代码获得最佳性能，因此Numba和Cython是最好的答案。
Numba方法可以实现如下：
init_string = """
from math import pow
import numpy as np
from numba import jit, float32
np.random.seed(0)
n = 100000
Tm = np.cumsum(np.random.uniform(0.1, 1, size=n).astype('float32'))
tau = np.random.uniform(-1, 0, size=n).astype('float32')
def calc_python(Tm_, tau_):
tt = np.empty(len(Tm_))
tt[0] = Tm_[0]
for i in range(1, len(Tm_)):
tt[i] = Tm_[i] - pow(tt[i-1] + Tm_[i], -tau_[i])
return tt
@jit(float32[:](float32[:], float32[:]), nopython=False, nogil=True)
def calc_numba(Tm_, tau_):
tt = np.empty(len(Tm_))
tt[0] = Tm_[0]
for i in range(1, len(Tm_)):
tt[i] = Tm_[i] - pow(tt[i-1] + Tm_[i], -tau_[i])
return tt
"""
import timeit
py_time = timeit.timeit('calc_python(Tm, tau)', init_string, number=100)
numba_time = timeit.timeit('calc_numba(Tm, tau)', init_string, number=100)
print("Python Solution: {}".format(py_time))
print("Numba Soltution: {}".format(numba_time))
Python和Numba函数的时间比较：
Python Solution: 54.58057559299999
Numba Soltution: 1.1389029540000024
答案 4 :(得分：2)
基于NPE的答案，我同意在某处必须有一个循环。也许你的目标是避免与Python for循环相关的开销？在这种情况下，numpy.fromiter确实击败了for循环，但只是一点点：
使用非常简单的递归关系
x[i+1] = x[i] + 0.1
我得到了
#FOR LOOP
def loopit(n):
x = [0.0]
for i in range(n-1): x.append(x[-1] + 0.1)
return np.array(x)
#FROMITER
#define an iterator (a better way probably exists -- I'm a novice)
def it():
x = 0.0
while True:
yield x
x += 0.1
#use the iterator with np.fromiter
def fi_it(n):
return np.fromiter(it(), np.float, n)
%timeit -n 100 loopit(100000)
#100 loops, best of 3: 31.7 ms per loop
%timeit -n 100 fi_it(100000)
#100 loops, best of 3: 18.6 ms per loop
有趣的是，预先分配一个numpy数组会导致性能大幅下降。这对我来说是一个谜，虽然我猜想访问数组元素必须有更多的开销，而不是附加到列表。
def loopit(n):
x = np.zeros(n)
for i in range(n-1): x[i+1] = x[i] + 0.1
return x
%timeit -n 100 loopit(100000)
#100 loops, best of 3: 50.1 ms per loop
答案 5 :(得分：0)
这是一个好问题。我也很想知道这是否可行，但是到目前为止，除了一些简单的情况之外，我还没有找到一种方法。
@Karl Knechtel提到，这似乎是一个很有前途的选择。您需要先创建一个ufunc。 This web page说明了方法。
在一个简单的递归函数中，它使用两个标量作为输入并输出一个定标器，这似乎很有效：
import numpy as np
def test_add(x, data):
return x + data
assert test_add(1, 2) == 3
assert test_add(2, 3) == 5
# Make a Numpy ufunc from my test_add function
test_add_ufunc = np.frompyfunc(t_next, 2, 1)
assert test_add_ufunc(1, 2) == 3
assert test_add_ufunc(2, 3) == 5
assert np.all(test_add_ufunc([1, 2], [2, 3]) == [3, 5])
data_sequence = np.array([1, 2, 3, 4])
f_out = test_add_ufunc.accumulate(data_sequence, dtype=object)
assert np.array_equal(f_out, [1, 3, 6, 10])
[请注意，dtype=object参数是必需的，如上面链接的网页中所述]。
但是在您的情况（和我的情况）中，我们希望计算一个具有多个数据输入（也可能有多个状态变量）的递归方程。
当我使用上面的ufunc.accumulate方法尝试此操作时，我得到了ValueError: accumulate only supported for binary functions。
如果有人知道该约束的解决方法，我将非常感兴趣。
选项2。Python内置的accumulate函数
同时，此解决方案无法完全实现numpy中的矢量化计算所需的功能，但至少可以避免for循环。
from itertools import accumulate, chain
def t_next(t, data):
Tm, tau = data # Unpack more than one data input
return Tm + (t - Tm)**tau
assert t_next(2, (0.38, 0)) == 1.38
t0 = 2 # Initial t
Tm_values = np.array([0.38, 0.88, 0.56, 0.67, 0.45, 0.98, 0.58, 0.72, 0.92, 0.82])
tau_values = np.linspace(0, 0.9, 10)
# Combine the input data into a 2D array
data_sequence = np.vstack([Tm_values, tau_values]).T
t_out = np.fromiter(accumulate(chain([t0], data_sequence), t_next), dtype=float)
print(t_out)
# [2. 1.38 1.81303299 1.60614649 1.65039964 1.52579703
# 1.71878078 1.66109554 1.67839293 1.72152195 1.73091672]
# Slightly more readable version possible in Python 3.8+
t_out = np.fromiter(accumulate(data_sequence, t_next, initial=t0), dtype=float)
print(t_out)
# [2. 1.38 1.81303299 1.60614649 1.65039964 1.52579703
# 1.71878078 1.66109554 1.67839293 1.72152195 1.73091672]