Question

根据tutorial on Lenses：

type Getting b a b  = (b -> Const b b) -> (a -> Const b a)

-- ... equivalent to: (b ->       b  ) -> (a ->       b  )

-- ... equivalent to:                     (a ->       b  )

问题：为什么(b -> b) -> (a -> b)等同于(a -> b)？

Answer 1

本教程对此并不十分准确。这是Getting的完整定义：

type Getting r s a = (a -> Const r a) -> s -> Const r s

剥离newtype噪音，

Getting r s a ~= (a -> r) -> s -> r

你应该从中获得有趣的同构如下：

(forall r. Getting r s a) ~= s -> a

在一条现已删除的评论中，chi指出这是Yoneda lemma的一个特例。

见证了同构

fromGetting :: Getting a s a -> (s -> a)
fromGetting g = getConst . g Const
           -- ~= g id

-- Note that the type of fromGetting is a harmless generalization of
-- fromGetting :: (forall r. Getting r s a) -> (s -> a)

toGetting :: (s -> a) -> Getting r s a
toGetting f g = Const . getConst . g . f
           -- ~= g . f

-- Note that you can read the signature of toGetting as
-- toGetting :: (s -> a) -> (forall r. Getting r s a)

fromGetting和toGetting都没有Rank-2类型，但描述同构，forall是必不可少的。为什么这是同构？？

一方面很容易：忽略Const噪音，

  fromGetting (toGetting f)
= toGetting f id
= id . f
= f

另一方比较棘手。

  toGetting (fromGetting f)
= toGetting (f id)
= \g -> toGetting (f id) g
= \g -> g . f id

为什么这相当于f？ forall是关键所在：

f :: forall r. Getting r s a
  -- forall r. (a -> r) -> s -> r

f无法生成r，除非将传递的函数（让我们称之为p）应用于类型a的值。除了p和s类型的值之外，它什么都没有给出。因此f除了从a中提取s并将p应用于结果外，其他任何事情都无法做任何事情。也就是说，f p必须＆＃34;因素＆＃34;进入两个功能的组成：

f p = p . h

所以

g . f id = g . (id . h) = g . h = f g

Answer 2

该类型显示“你给我b -> b和a，我会给你一个b。”具有该类型的函数可以使用b -> b做什么？两个选项：

完全忽略该功能
将其应用于b

如何获得b来应用该功能？您使用a生成一个。无论哪种方式，它都必须完成a -> b的工作。

这是一些见证（编辑：不完全）同构的代码。

in :: ((b -> b) -> a -> b) -> (a -> b)
in f x = f id x

out :: (a -> b) -> ((b -> b) -> a -> b)
out f g x = g (f x)

证明在Haskell镜头库中断言的类型等价性

2 个答案: