Question

假设我采取的计算只涉及加法和乘法：

(a+b)*(c+d)

可以通过许多其他方式完成，例如

a*(c+d) + b*(c+d)
a*c + a*d + b*c + b*d

在加法和乘法方面，所示三个例子中每一个所需的操作次数分别为（2,1）（3,2）（3,4）。显然，如果目标是减少操作的总数，那么第一个是优越的。有没有办法，给定一个任意表达式来查找需要最少操作次数的计算顺序？

注意： This question正在向SE.math重新询问CS群体的洞察力和观点。

Answer 1

你想要的是有效地生成所有可能的等效代数表达式，并选择花费最少代价步数的那个（在大多数机器上添加X三次比在X乘以3便宜））。

这样做是不切实际的，因为“等效”公式的数量是无限的。

然而，Pelegrí-Llopart找到了一个方案，在给定固定数量的代数重写规则（称为"BURS" (bottom-up rewrite system)）的情况下生成最佳代码。这已在一些代码生成器中实现。

从本质上讲，他构建了一个大型自动机离线，其状态跟踪可能的应用重写集。每个州都知道它发生时会产生什么，因此代码生成的在线时间很便宜。

Answer 2

忽略变量和整数系数的幂，这会减少到Karnaugh Map问题。

K-Maps可以以产品总和形式和总和形式表示，每个形式代表二进制电路。 “最少的操作”表单代表optimized binary circuit，对吗？

Answer 3

以单项形式有效评估多项式有一个Horner's Rule。根据它，给定n次多项式

p（x）= a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + ... + a ₁ x ¹ + a ₀

只需要n次乘法（不是n +（n-1）+（n-2）+ ... + 1 = n（n + 1）/ 2，因为从第一眼就可以看出）。那是因为polinomial可以改写为

p（x）=（（（a _n x + a _n-1）x + a _n-2）x + ... a ₁）x + a ₀

Answer 4

一个想法 - 让我们将变量视为布尔值并编写最大形式 link text

Answer 5

不确定一般情况，但似乎分解多项式可以提高性能。远程comp sci课程的一个例子：

a * x^2 + b * x + c

通过分解x：

来改进

x * (a * x + b) + c