使用整数值及其最大值

Question

  

代码片段

int x = < an integer value >;
System.out.println(x*x);

     

显示-131071。以下哪项是x的可能值？

显然答案是2^16 - 1。

我甚至不知道这是一个答案选择。如果没有计算器，我该如何解决这个问题？

  

声明

System.out.println(Integer.MAX_VALUE);

     

打印2147483647，等于2^31 - 1。什么是   以下声明打印？

System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 2);

答案是-2137483546。我很困惑，不应该因为我们超出界限而导致ArithmeticException吗？

我不是要问你这些问题吗？如果你能给我推理而不仅仅是答案（我已经有了）？我只是对ints在最大值附近操纵感到困惑。

Answer 1

我首先以更有用的形式编写-131071：0xfffe0001

现在只需解决x * x == 0xfffe0001。很明显x是奇怪的，否则它的方块永远不会是奇数。这个论点可以更进一步：模2 ¹⁶ 得到x * x = 1，所以x是1或-1模2 ¹⁶ ，因为那些是只有1的平方根。

所以低16位只有两种选择，那么高16位呢？

首先让我们尝试0xffff（也就是-1模2 ¹⁶ ）来获得低16位。那（即高16位为零）立即结果起作用，但“通过计算”是一个无聊的原因。这是一个更好的理由：原始数字是2 ³² -2 ¹⁷ +1（从其十六进制表示中很容易看到），这些因素成为（2 ¹⁶ -1） ² ，只做常见的“反方形”，所以2 ³² 是 ² ，-2 ¹⁷ = 2ab且1 = b ² 。

但这只是一种可能性，还有更多：

• 0x0000ffff = 2 ¹⁶ -1
• 0x8000ffff = 2 ³¹ +2 ¹⁶ -1（2 ³¹ 取消 如果你把它放在一边）

还记得底部的16位是多少？这也提供了两种可能性：

• 0x7fff0001
• 0xffff0001

  

不应该导致ArithmeticException，因为我们超出了界限吗？

不是使用标准包装算法，而是查看Math.multiplyExact和朋友。在普通的操作符中，/和%可以抛出，其他的操作非常安全。