Question

对于给定的NxN（0,1）矩阵，其值都是整数，我想确定矩阵的行列式是偶数（mod2 = 0）还是奇数（mod2 = 1）。

有没有有效的算法？ N大到100，所以蛮力O（N！）溶液太慢了。

如果我进行高斯消除并且天真地计算行列式，则行列式将最多为200位，因此我必须进行200位乘法和除法。

Answer 1

工作模式2非常容易。以下是基于以下内容的递归方法：

如果第一列全为0，则行列式为0。
如果第一列在第一行中为1且在下面为0，那么行列式与通过删除第一行和第一列获得的矩阵的行列式相同。
交换两行对mod-2行列式没有影响。如果你没有使用mod 2，你会乘以-1，但-1（mod 2）= 1.
用行和另一行的总和替换行对行列式没有影响。
当您添加第一个条目为1然后是mod-2的两行时，您会得到第一个条目为0的行。

Python 3实现：

def det2(mat):
    matrix = [[a%2 for a in row] for row in mat]
    n = len(matrix)
    if n == 1: return matrix[0][0]
    #first find a nonzero element in first column
    i = 0
    while i < n and matrix[i][0] == 0: i += 1
    if i == n:
        return 0 #since a column of zeros
    else:
        if 0 < i: matrix[0],matrix[i] = matrix[i],matrix[0] 
    #clear rest of column:
    for i in range(1,n):
        if matrix[i][0] == 1:
            matrix[i] = [a+b for a,b in zip(matrix[i],matrix[0])] 
    rest = [row[1:] for row in matrix[1:]]
    return det2(rest)

测试如下：

import random

def randMatrix(n,k):
    return [[random.randint(0,k+1) for i in range(n)] for j in range(n)]

A = randMatrix(100,100) #a 100x100 random matrix with entries in 0,1,...,100

det2(A) #takes less than a second

以上代码主要是概念验证。即使Python是一种解释语言，它也相当快。如果您使用@mcdowella的想法并将条目打包在64位整数变量中并使用逐位操作，则上述代码可以修改为在C之类的内容中非常快速地工作。此外，它当然很容易编写它以迭代而非递归的形式出现：

def det2(mat):
    matrix = [[a%2 for a in row] for row in mat]
    n = len(matrix)
    for i in range(n):
        #first find a nonzero element in column i in row i or below:
        j = i
        while j < n and matrix[j][i] == 0: j += 1
        if j == n:
            return 0 #since a zero will be on final diagonal
        else:
            if i < j: matrix[i],matrix[j] = matrix[j],matrix[i] 
        #clear rest of column:
        for j in range(i+1,n):
            if matrix[j][i] == 1:
                matrix[j] = [(a+b) % 2 for a,b in zip(matrix[i],matrix[j])] 

    #if you get to this stage without returning 0:
    return 1

Answer 2

将奇数替换为 1，将偶数替换为 0。如果新行列式的值为奇数，则母行列式的值为奇数，否则为偶数

确定NxN整数矩阵的行列式是偶数还是奇数

2 个答案: