Question

我需要在MATLAB中使用数值方法解决这些特定的ODEs。 ODE基本上模拟质量m的下降，连接到具有弹簧常数k的弹性件。这些ODE的解决方案是在离散位置及时表示身体的位置和速度。

ODE的参数是，

我实施了以下两种方法;欧拉和四阶龙格 - Kutta近似区间[0,60]的解。

这是我的 Runge Kutta功能 ，

function [t, y, v, h] = rk4_approx(T, n, g, C, K, L)

    %% calculates interval width h for each iteration
    h = (T / n);

    %% creates time array t
    t = 0:h:T;

    %% initialises arrays y and v to hold solutions
    y = zeros(1,n+1);
    v = zeros(1,n+1);

    %% functions
    z = @(v) v;
    q = @(v, y) (g - C*abs(v)*v - max(0, K*(y - L)));

    %% initial values
    v(1) = 0;
    y(1) = 0;

    %% performs iterations
    for j = 1:n

        %% jumper's position at each time-step
        r1 = h*z(v(j));
        r2 = h*z(v(j) + 0.5*h);
        r3 = h*z(v(j) + 0.5*h);
        r4 = h*z(v(j) + h);
        y(j+1) = y(j) + (1/6)*(r1 + 2*r2 + 2*r3 + r4); %position solution

        %% jumper's velocity at each time-step
        k1 = h*q(v(j), y(j));
        k2 = h*q(v(j) + 0.5*h, y(j) + 0.5*k1);
        k3 = h*q(v(j) + 0.5*h, y(j) + 0.5*k2);
        k4 = h*q(v(j) + h, y(j) + k3);
        v(j+1) = v(j) + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4); %velocity solution

    end

end

这是我的 Euler函数 ，

function [t, y, v, h] = euler_approx(T, n, g, C, K, L)

    % calculates interval width h
    h = T / n;

    % creates time array t
    t = 0:h:T;

    % initialise solution arrays y and v
    y = zeros(1,n+1);
    v = zeros(1,n+1);

    % perform iterations
    for j = 1:n
        y(j+1) = y(j) + h*v(j);
        v(j+1) = v(j) + h*(g - C*abs(v(j))*v(j) - max(0, K*(y(j) - L)));
    end

end

然而，在改变参数＆＃39; n＆＃39; （其中n是迭代中＆＃39;步骤的数量），看起来身体位置的欧拉解决方案收敛到Runge-Kutta解决方案的最大值约为y = 50。由于这个ODE没有一个封闭的解决方案，我没有什么比较我的答案。我怀疑答案是y = 50。

因此，我怀疑我的回答。

我的Runge - Kutta解决方案代码是否错误？它应该比欧拉解更快地收敛吗？

抱歉格式不佳。

Answer 1

Runge-Kutta整合不正确。

了解独立和依赖（也称为 state 和其他许多名称）变量之间的区别至关重要。时间是这个问题的自变量。给定时间，您可以提供高度和速度;相反的情况并非如此。当您阅读Runge-Kutta公式时，例如the one provided by Wikipedia，t是自变量，y是向量的因变量。此外，当执行方程组的时间积分时（这里我们有一个两个方程的系统），如果你要执行行为元素，跟踪哪个右侧属于哪个方程是非常重要的，为简单起见，我会这样做。

所有这一切，当前RK积分器的问题是双重的

v正在被视为t;这是不正确的。 v和y的步骤相似。
y应与r个变量同步，因为r变量来自y的右侧等式z。同样，v与k变量同步。

因此，积分器的更新核心是：

r1 = h*z(v(j));
k1 = h*q(v(j), y(j));

r2 = h*z(v(j) + 0.5*k1);
k2 = h*q(v(j) + 0.5*k1, y(j) + 0.5*r1);

r3 = h*z(v(j) + 0.5*k2);
k3 = h*q(v(j) + 0.5*k2, y(j) + 0.5*r2);

r4 = h*z(v(j) + k3);
k4 = h*q(v(j) + k3, y(j) + r3);

y(j+1) = y(j) + (1/6)*(r1 + 2*r2 + 2*r3 + r4); %position solution
v(j+1) = v(j) + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4); %velocity solution

请注意v和y如何以类似的方式更新，因此需要彼此锁定更新。这种形式的积分器将提供比欧拉更好的性能。

最后，如果您对未知的解决方案有疑问，请务必记住您可以使用MATLAB ODE套件，并快速调用经过广泛审查且非常强大的ode45可以解除很多顾虑。我实际上用过这个电话

[t45,w45] = ode45(@(t,w) [z(w(2));q(w(2),w(1))],linspace(0,T,200).',[0;0]);

检查我的工作。

使用Runga - Kutta方法在MATLAB中求解ODE

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