Question

Babylonian aka Heron的方法似乎是找到数n的平方根的更快算法之一。它收敛的速度取决于您的初始猜测的距离。

现在，随着数字n的百分比减少，数字n会增加其根x。
root（10）：10 - 31％
10：100 - 10％
root（100）：100 - 3％
root（1000）：1000 - 1％
所以基本上对于数字中的每个数字除以3左右。然后使用它作为你的初始猜测。如 -

 public static double root(double n ) {
      //If number is 0 or negative return the number
            if(n<=0)
                return n ;
     //call to a method to find number of digits
            int num = numDigits(n)  ;
            double guess =  n ;
    //Divide by 0.3 for every digit from second digit onwards
            for (int i = 0 ; i < num-1 ; ++i )
                guess = guess * 0.3;
    //Repeat until it converges to within margin of error
            while (!(n-(guess*guess) <= 0.000001 && n-(guess*guess) >= 0 )) {
                double divide = n/guess ;
                guess = Math.abs(0.5*(divide+guess)) ;

            }

            return Math.abs(guess)  ;
        }

这是否有助于优化算法。这是O（n）吗？

Answer 1

是。更好的方法是利用浮点表示，将二进制指数近似除以2，因为对浮点位的操作非常快。请参阅Optimized low-accuracy approximation to `rootn(x, n)`。

Answer 2

我认为算法的复杂性与提供的输入无关。（复杂性是该算法的一般特征，我们不能说算法x对于输入I1具有复杂度O1而对于输入I2具有复杂度O2）。因此，无论您提供什么初始值，都不应该提高复杂性。它可以改善该特定情况的迭代次数，但这是另一回事。将迭代次数减少一半仍然意味着相同的复杂性。请记住，n，2 * n，n / 3都适合O（n）类。

现在，关于实际的复杂性，我在维基百科上阅读了https://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Babylonian_method）

This is a quadratically convergent algorithm, which means that the number of correct digits of the approximation roughly doubles with each iteration.

这意味着您需要的迭代次数与您期望的精确小数次数一样多。这是不变的。如果你需要10个精确的小数，10是一个常数，完全独立于n。

但是在维基百科的例子中，他们从最初的候选人中选择了与正确答案具有相同数量级的候选人（600与354相比）。但是，如果您的初始猜测太错误（按数量级），则需要一些额外的迭代来减少/添加必要的数字。这将增加复杂性。假设正确的答案是10000，而你的初始猜测是10.差异是4个数量级，我认为在这种情况下，达到正确幅度所需的复杂度与你猜测的数字位数之间的差异成正比。正确答案的位数。由于数字位数近似为log（n），因此在这种情况下，额外的复杂度为log(corect_answer) -log(initial_guess)，视为绝对值。

要避免这种情况，请选择一个具有正确位数的数字，这通常是初始数字的一半数字。我最好的选择是选择数字的前半部分作为候选人（从123456，保持123，从1234567，123或1234）。在java中，您可以使用字节操作来保留数字/字符串的前半部分/保存在内存中的任何内容。因此，您不需要迭代，只需要一个具有恒定复杂度的字节操作。

Answer 3

对于 n ≥4，sqrt（ n ）= 2 sqrt（ n / 4）。对于 n ＆lt; 1，sqrt（ n ）= 1/2 sqrt（ n ×4）。因此，您总是可以乘以或除以4以在范围[1,4]上标准化 n 。

一旦你这样做，取sqrt（4）= 2作为Heron算法的起点，因为这是几何平均值，每次迭代将产生最大可能的改进，并展开循环以执行所需的迭代次数为了达到理想的准确度。

最后，乘以或除以您在开头删除的所有因子2。请注意，二进制计算机可以轻松快速地乘以2或4除以。

我在my blog讨论了这个算法。

优化初始猜测是否使巴比伦方法快速找到平方根？

3 个答案: