Question

例如，我们有系列1,2,3,4,5。我们采用每3个元素=＆gt; 3,1,5,2,4（选择的元素不应该保留，我们可以采取系列不是空的）。圈子双向链表的朴素实现不是表现的好主意。你能给我一个建议，哪些数据结构和算法更适用？

Answer 1

如果您只需要最后一个号码，则称为Josephus problem，并且在O(N)时间内有一个众所周知的公式用于计算答案。

我不知道是否可以对其进行调整以进行完整模拟，因此我将在此处描述一个直截了当的O(N log N)解决方案：

让我们用隐式密钥保存所有数字。我们需要找到k - 元素并在每一步删除它（事实上，可能会有一个转变，所以它更像(cur_shift + k) % cur_size，但它不会真的很重要）。一个treap就可以做到。我们只需将其拆分为3个部分[0, k - 1]，[k, k]和[k + 1, cur_size - 1]，在与第二部分对应的节点中打印数字，然后将第一部分和最后部分合并在一起。每步需要O(log N)次，因此对于给定的约束应该足够好。

Answer 2

构建一个包含数字1到n的complete二叉树，例如因为n = 15，那将是：

在每个分支中，存储其左侧的节点数;这将允许我们快速找到第i个节点。 （你会看到这棵树具有非常可预测的结构和值，并且生成它比构建具有随机排序值的相同大小的二叉树更有效。它也是树的理想候选者。 -an阵列。）的

然后，要找到第i个数字，从根节点开始，在每个节点，如果i大于左边的节点数，你就找到了第i个数字，否则就去left（如果i不大于左边的节点数）或right（如果i比左边的节点数大1）。

无论何时向左移动，都会减少此节点左侧的节点数（因为我们将删除一个节点）。

无论何时向右移动，请按节点左侧的节点数减1，如果节点中的值已被删除，则减少1（或加0）。

当你找到第i个节点时，读取它的值（添加到删除顺序列表），然后将其值设置为0.此后，如果我们正在寻找的第i个节点有它的价值被抹去，我们会走右边，然后走最左边的节点。

我们从值i = k开始，然后每当我们删除第i个节点中的数字时，我们将减少节点总数并设置i = (i + k - 1) % total（或者如果是零：i = total）。

这给出了log ₂ N的查找时间和N×LogN的总复杂度。

示例演练： n = 15 （如上图所示）和 k = 6 ，第一步是6,12,3,10，那时的情况是：

我们刚刚删除了第二个号码，现在是i = 2 + 6 - 1 = 7。我们从根节点开始，它在它的左边有4个节点并且仍然有它的值，所以我们右边从我们正在寻找的7中减去5并得到2.我们到达节点12（已经到了擦除）并找到它左边有2个节点，所以我们减少它左边的节点数然后再向左移动。我们来到节点10（已被删除）并发现它左边有1个节点，1 = 2 - 1所以这是我们正在寻找的节点;然而，由于它的值已被删除，我们向右移动并从我们正在寻找的2中减去1并得到1.我们到达节点11，其左边有0个节点（因为它是叶子），并且0 = 1 - 1，所以这是我们正在寻找的节点。

然后我们将节点总数从10减少到9，并将i从7更新为(7 + 6 - 1) % 9 = 3，然后继续查找第三个节点（现在是值为5的节点）。

这是JavaScript中的一个简单实现。它可以在不到一秒的时间内解决100,000个数字系列，并且可以通过使用树形数组结构使其更快，更节省空间。

（与上面的解释不同，数字的索引是从零开始的，以简化代码;因此索引0是树中的第一个数字，我们寻找具有左数的节点已连接的子项，等于目标索引。）

function Tree(size) {                      // CONSTRUCTOR
    var height = Math.floor(Math.log(size) / Math.log(2));
    this.root = addNode(height, 1 << height, size);
    this.size = size;
    function addNode(height, value, max) { // RECURSIVE TREE-BUILDER
        var node = {value: value > max ? 0 : value, lower: (1 << height) - 1};
        if (height--) {
            node.left = addNode(height, value - (1 << height), max);
            if (value < max) {             // DON'T ADD UNNECESSARY RIGHT NODES
                node.right = addNode(height, value + (1 << height), max);
            }
        }
        return node;
    }
}
Tree.prototype.cut = function(step) {      // SEE ANSWER FOR DETAILS
    var sequence = [], index = (step - 1) % this.size;
    while (this.size) {
        var node = this.root, target = index;
        while (node.lower != target || node.value == 0) {
            if (target < node.lower) {
                --node.lower;
                node = node.left;
            } else {
                target -= node.lower + (node.value ? 1 : 0);
                node = node.right;
            }
        }
        sequence.push(node.value);
        node.value = 0;
        index = (index + step - 1) % --this.size;
    }
    return sequence;
}
var tree = new Tree(15);
var sequence = tree.cut(6);
document.write("15/6&rarr;" + sequence + "<BR>");

tree = new Tree(100000);
sequence = tree.cut(123456);
document.write("100000/123456&rarr;" + sequence);

注意：

如果你看n = 10的树，你会看到根右边的节点有一个不完整的树，左边有2个节点，但是上面代码示例中实现的算法给出了它不正确的左节点数为3而不是2：

但是，左侧树木不完整的节点本身从不持有值，并且从不拥有右侧的节点。因此，无论如何你总是离开那里，而且他们的左侧节点数太高这一事实并不重要。

Answer 3

这是一个具有二叉树数组表示的实现，仅将左子树的大小存储为节点值。输入数组实际上并未存储，而是默认地假设为底层的叶子，位于二叉树下面：

function josephusPermutation(size, step) {
    var len = 1 << 32 - Math.clz32(size-1), // Smallest power of 2 >= size
        tree = Array(len).fill(0), // Create tree in array representation 
        current = 0, 
        skip = step - 1,
        result = Array(size).fill(0),
        goRight, leftSize, order, i, j;

    // Initialise tree with sizes of left subtrees as node values
    (function init(i) {
        if (i >= len) return +(i - len < size); // Only count when within size
        var left = tree[i] = init(i*2); // recursive, only store left-size
        return left + (left ? init(i*2+1) : 0); // return sum of left and right 
    })(1);

    for (j = 0; j < result.length; j++, size--) {
        current = (current + skip) % size; // keep within range
        order = current;
        for (i = 1; i < len; i = i*2+goRight) {
            leftSize = tree[i];
            goRight = order >= leftSize;
            if (goRight) {
                order -= leftSize; // Moving rightward, counting what is at left side.
            } else {
                tree[i]--; // we will remove value at left side
            }
        }
        result[j] = 1 + i - len;
    }
    return result;
}

var sequence = josephusPermutation(100000, 123456);
console.log(sequence.join(','));

Answer 4

以下是王磊和王晓东（2013）¹ O(n log k)算法的实现（非常类似于，如果不是基于Errol Lloyd的算法，发表于1983年）。我们的想法是将原始序列划分为n/m高度为log k的二叉树。该算法实际上是为＆＃34; feline＆＃34;而设计的。约瑟夫斯问题，参与者可以有多个生命（列在下面的数组变量global.l）。

我也喜欢Knuth，Ahrens和Kaplansky的O(1)空间算法，（加州州立大学格雷戈里威尔逊，海沃德，1979年²），这需要更长的时间来处理，但取决于参数可以非常快。

Knuth的J(n,d,t)算法（t是ith命中），是一个递减序列：

Let x1 = d * t and for k = 2,3,..., 
  let x_k = ⌊(d * x_(k−1) − d * n − 1) / (d − 1)⌋

Then J(n,d,t) = x_p where x_p is the first term in the sequence <= n.

Ahrens的J(n,d,t)算法，升序：

Let a1 = 1 and for k = 2,3,... 
  let a_k = ⌈(n − t + a_(k−1)) * d / (d − 1)⌉ 
If a_r is the first term in the sequence such that a_r + 1 ≥ d * t + 1 
  then J(n,d,t) = d * t + 1 − a_r.

Kaplansky的J(n,d,t)算法：

Let Z+ be the set of positive integers and for k =1,2,...,t 
  define a mapping P_k : Z+ → Z+ by P_k(m) = (m+d−1)−(n−k+1)(m−k+d−1)/(n−k+1)
Then, J(n,d,t) = P1 ◦ P2 ◦···◦Pt(t).

JavaScript代码：

＆＃13;

var global = {
  n: 100000,
  k: 123456,
  l: new Array(5).fill(1),
  m: null,
  b: null,
  a: [],
  next: [],
  prev: [],
  i: 0,
  limit: 5,
  r: null,
  t: null
}

function init(params){
  global.m = Math.pow(2, Math.ceil(Math.log2(params.k)));
  params.b = Math.ceil(params.n / global.m);
      
  for (let i=0; i<params.b; i++){
    let s = i * global.m,
        t = (i + 1) * global.m,
        u = [];
        
    for (let j=0; j<global.m; j++)
      u[j] = 0;
      
    for (let j=s; j<=Math.min(t-1,params.n-1); j++)
      u[j-s] = -(j + 1);
      
    global.a[i] = [];
    build(u, global.a[i]);
    
    t = (i + 1) % params.b;
    
    params.next[i] = t;
    params.prev[t] = i;
  }
}

function build(u,v){
  function count(_v, i){
    if (global.m < i + 2){
      if (_v[i] < 0)
        return 1;
      else
        return 0;
        
    } else {
      _v[i] = count(_v, 2*i + 1);
      _v[i] = _v[i] + count(_v, 2*i + 2);
      return _v[i];
    }
  }
  
  for (let i=0; i<global.m; i++)
    v[global.m + i - 1] = u[i];
    
  count(v, 0);
}

function algorithmL(n, b){
  global.r = 0;
  global.t = b - 1;
      
  while (global.i < global.limit){
    tree(global, global);
    let j = leaf(global, global);
    hit(global.i,j,global,global);
    global.i = global.i + 1;
  }
}

function tree(params_r,params_t){
  if (params_t.t === global.next[params_t.t] && params_r.r < global.k){
    params_r.r = global.k + global.a[params_t.t][0] - 1 - (global.k - params_r.r - 1) % global.a[params_t.t][0];
  } else {
    while (params_r.r < global.k){
      params_t.t = global.next[params_t.t];
      params_r.r = params_r.r + global.a[params_t.t][0];
    }
  }
}

function size(t,j){
  if (global.a[t][j] < 0)
    return 1
  
  return global.a[t][j];
}

function leaf(params_r,params_t){
  let j = 0,
      nxt = params_r.r - global.k;
      
  while (j + 1 < global.m){
    let rs = size(params_t.t, 2*j + 2);
    if (params_r.r - rs < global.k){
      j = 2*j + 2;
    } else {
      j = 2*j + 1;
      params_r.r = params_r.r - rs;
    }
  }
  params_r.r = nxt;
  return j;
}

function hit(i,j,params_r,params_t){
  let h = -global.a[params_t.t][j];
  console.log(h);
  if (global.l[h-1] > 1)
    global.l[h-1] = global.l[h-1] - 1;
  else
    kill(i,j,params_r,params_t);
}

function kill(i,j,params_r,params_t){
  global.a[params_t.t][j] = 0;
  while (j > 0){
    j = Math.floor((j - 1) / 2);
    global.a[params_t.t][j] = global.a[params_t.t][j] - 1;
  }
  if (params_t.t !== global.next[params_t.t]){
    if (global.a[params_t.t][0] + global.a[global.next[params_t.t]][0] === global.m){
      params_r.r = params_r.r + global.a[global.next[params_t.t]][0];
      combine(params_t);
    } else if (global.a[params_t.t][0] + global.a[global.prev[params_t.t]][0] === global.m){
      t = global.prev[params_t.t];
      combine(params_t);
    }
  }
}

function combine(params_t){
  let x = global.next[params_t.t],
      i = 0,
      u = [];
  
  for (let j=0; j<global.m; j++)
    if (global.a[params_t.t][global.m + j - 1] < 0){
      u[i] = global.a[params_t.t][global.m + j - 1];
      i = i + 1;
    }
  for (let j=0; j<global.m; j++)
    if (global.a[x][global.m + j - 1] < 0){
      u[i] = global.a[x][global.m + j - 1];
      i = i + 1;
    }
  build(u,global.a[params_t.t]);
  global.next[params_t.t] = global.next[global.next[params_t.t]];
  global.prev[global.next[params_t.t]] = params_t.t;
}

init(global);
algorithmL(global.n, global.b);

＆＃13;

（1）L。Wang和X. Wang。广义Josephus问题算法的比较研究。 应用数学＆amp;信息科学，7，No.4,1451-1457（2013）。

（2）Wilson（1979）的参考文献：

Knuth，D。E.，计算机程序设计艺术，Addison-Wesley，Reading Mass。，Vol I Fundamental Algorithms，1968，Ex。 22，p158;卷。 III，排序和搜索，例如2，pp.18-19;卷。我，第2版，第181页。

Ahrens，W。， Mathematische Unterhaltungen und Spiele ，Teubner：Leipzig，1901，Chapter 15,286-301。

Kaplansky，I。和Herstein I.N.， Matters Mathematical ，Chelsea，New York，1978，pp.121-128。

从（1 ... n）自然数系列中取出每个第k个元素

4 个答案: