Question

我有以下令人烦恼的问题。我已经实现了以下功能：

function bool less(nat x, nat y) {
    if (y<>0) then
       if (x<>0) then
           return less(x-1,y-1);
       else
           return true;
       end;
    else
       return false;
    end;
end;

如何显示所有x，y以下内容较少（x，y）和较少（y，x）是不可能的同一时间？

再见

（c）2010年，Jan Burse，8004Zürich

Answer 1

好吧，首先我会请你考虑less(-1, -2)的情况，所以我们必须定义函数在n≥0的范围内。当第一个输入等于第二，它将对两个排序都返回true，所以我们必须假设x≠y。

我会使用矛盾证明。

假设对于某些x和某些y，其中x和y都是≥0且x≠y，则较小的（x，y）和较小的（y，x）都为真。

这意味着当x和y都非零时，你从它们中减去一次n次，直到其中一个为零，首先检查x。当第一个操作数达到零时，该函数返回true;当第二个操作数达到零时，该函数返回false，而第一个操作数为非零。

有两种情况：

x首先达到零。在这种情况下，n = x，因为0 = x - n（1）。
y首先达到零。在这种情况下，n = y，因为0 = y - n（1）。

根据我们的假设，less（x，y）返回true，意味着函数迭代x次，之后x - x（1）= 0且y - x（1）> 0（因为y≠x，并且函数在手之前没有返回false）。

类似地，less（y，x）返回true，意味着函数迭代y次，之后y-y（1）= 0并且x-y（1）> 0。 0（与以前相同的原因）。

这给了我们两个有用的关系：y - x > 0和x - y > 0。重新排列：y > x和x > y（函数的语义，但我们从函数如何工作的定义中实现了这一点，并将它简化为纯数学，我们可以使用某些公理对）。

从y > x和x > y，您可以重新排列为x > x和y > y（如果x大于y，那么它大于y大于y的所有内容。y大于x，因此x大于x）。

这是一个逻辑矛盾，因此我们的假设（它们都是真的）是不正确的。

因此，通过矛盾证明，当x≠y，并且x，y≥0时，函数less对于less（x，y）和less（y，x）都不能返回true。

（已经有一段时间了，因为我必须做一个证明（虽然我不得不做一些事情，所以这是一个好习惯）所以我可能有点生疏。如果有人看到错误，请指出来，我会尝试解决它）

如何显示函数始终不可交换

1 个答案: