为什么MATLAB给这个积分带来负值？

Question

我尝试进行以下整合：

其中d >= 0。

我尝试得到一个显式表达式，我认为结果应该是一个正值，因为被积函数大于或等于0，但MATLAB的符号集成给了我这个结果：

syms y d
assume(d>=0)
int(y^2*sqrt(-y^2+d*y),y,0,d)

ans =

-(5*pi*d^4)/128

所以我想知道为什么出现负值。你知道怎么解释这个结果吗？

Answer 1

这显然是一个错误，我已经向The MathWorks提交了一份错误报告。您可以通过绘制被积函数来确认它，并注意它在[0 d]范围内始终为正，从而确保积分应该产生正值：

h = [];
for d = 1:5,
  y = linspace(0, d, 1000);
  h = [h; plot(y, f(y, d))];
  hold on;
end
legend(h, strcat({'d = '}, int2str((1:5).')));
xlabel('y');
ylabel('f(y)');
title('f(y) = y^2*sqrt(d*y - y^2)');

更新＃1：

The MathWorks的回复表明这可能是MuPad命令limit的问题。下面是MuPad中的无限积分：

在y=d处对此进行评估会得到正确的结果，但是在y接近0的情况下对其进行评估会根据在限制计算之前或之后是否替换d来得出不同的结果。以下是d=1的示例：

注意第一学期的符号变化。在这种情况下，在极限计算之前替换d会导致积分的正（和正确）评估。因此，MATLAB似乎在极限计算后代替d，给出了定积分的错误否定结果。

更新＃2：

我收到了一份后续回复，说明此错误现已在最新版本R2018b中得到解决。我能够在R2018b预发布版中确认上面的两个限制计算产生相同的结果，并且积分结果现在具有正确的符号：

syms y d
assume(d >= 0)
int(y^2*sqrt(-y^2+d*y), y, 0, d)

ans =

(5*pi*d^4)/128