Question

首先，这是一个辅助，我不是在寻找直接的答案，而是寻找最佳解决方案的复杂性，因为你可能会想到它。

这是已知的问题，即矩阵中的2个点之间的最短路径（开始和结束），同时在路上有障碍物。移动接受是向上，向下，向左和向右。让我们说，当我搬运时，每次运动的成本是2。矩阵中有点（我们将它们命名为B点），我可以将它留在一个B点，然后从另一个B点中取出。在B点倾倒的成本是1，从B点采集的成本再次为1。每当我没有这个动作时，我现在的行动成本是1。我对解决方案的看法是将矩阵转换为树并应用BFS。然而，这没有B点。

每当我考虑到B点复杂性时，最坏的情况就是N ^ 2。这是一个例子：

S - - -
- - - -
B - - B
- - O E

S =开始，E =结束，B = B指向下降，O =障碍物所以我从S开始向下移动到B点（2 * 2 = 4点）离开B点（1点）向右移动（2 * 1 = 2点），拿起它（1点），向下移动2分=总共10分。

我认为是每个B点都有节点构建树，但这会创建一个非常密集的几乎（V-1）*（V-1）边的循环图，它取N ^ 2边界中的算法只是为了创建图表。这是上面最糟糕的情况：

S b b b
b b b b
b b b b 
b b b E

我认为的另一个选择是首先计算没有B点的最短路径。然后在每次迭代时进行迭代：首先在S上有bfs，在B上最近 E上有BFS，B最近然后查看最接近S的B和最接近E的B之间是否存在路径。如果有，那么我会看到路径是否小于带有障碍物的常规最短路径。如果那个更大那么没有最短路径（没有贪心测试）。如果2个B点之间没有路径，请尝试第二个最接近S的路径，然后重试。如果没有路径，第二个最接近E并且最接近S。但是，在最糟糕的情况下，我无法计算这个复杂度，加上没有贪婪的测试来评估它。任何帮助计算复杂性甚至指出最佳复杂性解决方案（不是解决方案而只是复杂性）都将非常感激

Answer 1

您的矩阵是图表的表示。没有作弊路径，很容易实现一个不错的BFS。实施作弊路径并不是什么大问题。只需在第一个上添加与另一个“层”相同的矩阵。底层是'进位'，顶层是'无进位'。对于给定的成本，您只能在B点移动到另一层。这是具有第三维度的相同BFS。

每层有n ^ 2个节点和（n-1）^ 2个边，另外最多有n ^ 2个边连接各层。那是O（n ^ 2）。

Answer 2

您可以构建一个新图形，其节点标记为（N，w），其中N是原始图形中的节点（因此矩阵中的位置），w = 0或1表示您是否携带重量。然后在此图中添加所有可能的边缘非常容易

这个新图的大小为2 * V，而不是V ^ 2（边数约为4 * V +数字（B））。

然后你可以使用最短路径算法，例如Dijkstra算法：复杂度O（E + V log（V）），在你的情况下是O（V log（V））。

矩阵中的最短路径与作弊路径的障碍

2 个答案: