Question

我正在进行一项练习，在那里我提出了一个证明但我被困住的命题。希望有人并启发我的想法。

我定义了一个定义子序列关系的归纳命题，其中第一个列表中的元素需要按顺序出现在第二个列表中，但不一定是连续出现。

这是我的定义：

Inductive subseq : list nat -> list nat -> Prop :=
  | emptyseq : forall l, subseq [] l
  | matchh   : forall h l1 l2, subseq l1 l2 -> subseq (h :: l1) (h :: l2)
  | nmatchh  : forall h l1 l2, subseq l1 l2 -> subseq l1 (h :: l2).

和我要证明的定理：

Theorem subseq_shrink : forall h l1 l2,
  subseq (h :: l1) l2 -> subseq l1 l2.

基本上它表示如果头部被切断，列表仍将是子序列。很直观，不是吗？但是，我被困住了。

以下是我的证明的一部分：

Proof.
  intros h l1 l2 H. generalize dependent h. induction l1.
  - intros. apply emptyseq.
  - intros h H.

证明看起来并不好看。

1 subgoals
x : nat
l1 : list nat
l2 : list nat
IHl1 : forall h : nat, subseq (h :: l1) l2 -> subseq l1 l2
h : nat
H : subseq (h :: x :: l1) l2
______________________________________(1/1)
subseq (x :: l1) l2

对我来说看起来很无能为力。我在某个地方犯了错误吗？我错过了哪一部分被困在这个简单的定理中？

Answer 1

您可以在subseq推导时使用归纳法。请注意下面的remember：我们需要它，因为Coq使用类型族索引的方式。我认为它是在Software Foundations一书中的某个地方描述的。尝试删除它，看看会发生什么。

Theorem subseq_shrink : forall h l1 l2,
  subseq (h :: l1) l2 -> subseq l1 l2.
Proof.
  intros h l1 l2 H.
  remember (h :: l1) eqn:Eq.
  induction H.
  - inversion Eq.
  - inversion Eq; clear Eq; subst.
    now constructor.
  - destruct l0; inversion Eq; clear Eq; subst.
    now constructor; apply IHsubseq.
Qed.

Answer 2

这里有多种解决方案。但重要的是要理解为什么我们需要归纳。实际上，我们想要删除h前面的l1。由于subseq的定义，我们知道h是l2的第一个元素，或者，如果不是，它将是第二个，或者，如果不是，它将是第三，或......

实际上，我们需要在h中找到l2，为此我们需要在l2上进行归纳，而不是l1。按照另一个答案的建议对subseq进行归纳也有助于在h中找到l2，这就是为什么它也能正常工作。

在l2上进行归纳似乎更简单。这是证明的开始：

Theorem subseq_shrink : forall h l1 l2,
  subseq (h :: l1) l2 -> subseq l1 l2.
Proof.
  intros h l1 l2. revert h l1. induction l2; intros.

证明斩首子序列是同一序列的子序列

2 个答案: