Question

我正在处理图像，以检测并拟合包含分布式粒子的图像的任何自由区域中的最大圆圈：

（能够检测粒子的位置）。

一个方向是定义一个圆圈，触摸任意三点组合，检查圆圈是否为空，然后在所有空圆圈中找到最大的圆圈。但是，它导致了大量的组合，即C(n,3)，其中n是图像中的粒子总数。

如果有人能为我提供任何我可以探索的提示或替代方法，我将不胜感激。

Answer 1

让我的朋友做一些数学，因为数学总会到最后！

百科：

在数学中，Voronoi图是将平面划分为区域基于距离平面特定子集中点的距离。

例如：

rng(1)
x=rand(1,100)*5;
y=rand(1,100)*5;


voronoi(x,y);

这个图表的好处在于，如果你注意到，那些蓝色区域的所有边/顶点都与它们周围的点的距离相等。因此，如果我们知道顶点的位置，并计算到最近点的距离，那么我们可以选择距离最远的顶点作为圆的中心。

有趣的是，Voronoi区域的边缘也被定义为Delaunay三角剖分生成的三角形的外心。

因此，如果我们计算该区域的Delaunay三角剖分及其外心

dt=delaunayTriangulation([x;y].');
cc=circumcenter(dt); %voronoi edges

计算外心与定义每个三角形的任何点之间的距离：

for ii=1:size(cc,1)
    if cc(ii,1)>0 && cc(ii,1)<5 && cc(ii,2)>0 && cc(ii,2)<5
    point=dt.Points(dt.ConnectivityList(ii,1),:); %the first one, or any other (they are the same distance)
    distance(ii)=sqrt((cc(ii,1)-point(1)).^2+(cc(ii,2)-point(2)).^2);
    end
end

然后我们将所有可能的圆圈的中心（cc）和半径（distance）放在其中。我们只需要最大的一个！

[r,ind]=max(distance); %Tada!

现在让我们绘制

hold on

ang=0:0.01:2*pi; 
xp=r*cos(ang);
yp=r*sin(ang);

point=cc(ind,:);

voronoi(x,y)
triplot(dt,'color','r','linestyle',':')
plot(point(1)+xp,point(2)+yp,'k');
plot(point(1),point(2),'g.','markersize',20);

注意圆的中心是如何在Voronoi图的一个顶点上的。

注意：这将在[0-5]，[0-5]中找到中心。您可以轻松修改它以更改此约束。您还可以尝试在感兴趣的区域内找到适合其整体的圆圈（而不仅仅是中心）。这将需要在最终获得最大值的一小部分。

Answer 2

我想提出另一种基于网格搜索和优化的解决方案。它不像Ander那样先进，也不像rahnema1那么短，但它应该非常容易理解。而且，它运行得非常快。

该算法包含几个阶段：

我们生成均匀间隔的网格。
我们发现网格中点的最小距离为所有提供的点。
我们丢弃距离低于某一百分位数（例如第95位）的所有点。
我们选择包含最大距离的区域（如果我的初始网格足够好，则应包含正确的中心）。
我们在所选区域周围创建一个新的网格网格并再次找到距离（这部分显然是次优的，因为距离计算到所有点，包括远距离和不相关距离）。
我们迭代区域内的细化，同时密切关注前5％值的方差 - ＆gt;如果它低于某个预设的阈值，我们会破坏。

几点说明：

我假设圆圈不能超出散点的范围（即散射的边界作为“隐形墙”）。
适当的百分位数取决于初始网格的精细程度。这也会影响while次迭代的数量，以及cnt的最佳初始值。

function [xBest,yBest,R] = q42806059
rng(1)
x=rand(1,100)*5;
y=rand(1,100)*5;

%% Find the approximate region(s) where there exists a point farthest from all the rest:
xExtent = linspace(min(x),max(x),numel(x)); 
yExtent = linspace(min(y),max(y),numel(y)).';
% Create a grid:
[XX,YY] = meshgrid(xExtent,yExtent);
% Compute pairwise distance from grid points to free points:
D = reshape(min(pdist2([XX(:),YY(:)],[x(:),y(:)]),[],2),size(XX));
% Intermediate plot:
% figure(); plot(x,y,'.k'); hold on; contour(XX,YY,D); axis square; grid on;
% Remove irrelevant candidates:
D(D<prctile(D(:),95)) = NaN;
D(D > xExtent | D > yExtent | D > yExtent(end)-yExtent | D > xExtent(end)-xExtent) = NaN;
%% Keep only the region with the largest distance
L = bwlabel(~isnan(D));
[~,I] = max(table2array(regionprops('table',L,D,'MaxIntensity')));
D(L~=I) = NaN;
% surf(XX,YY,D,'EdgeColor','interp','FaceColor','interp');
%% Iterate until sufficient precision:
xExtent = xExtent(~isnan(min(D,[],1,'omitnan')));
yExtent = yExtent(~isnan(min(D,[],2,'omitnan')));
cnt = 1; % increase or decrease according to the nature of the problem
while true
  % Same ideas as above, so no explanations:
  xExtent = linspace(xExtent(1),xExtent(end),20); 
  yExtent = linspace(yExtent(1),yExtent(end),20).'; 
  [XX,YY] = meshgrid(xExtent,yExtent);
  D = reshape(min(pdist2([XX(:),YY(:)],[x(:),y(:)]),[],2),size(XX));
  D(D<prctile(D(:),95)) = NaN;
  I = find(D == max(D(:)));
  xBest = XX(I);
  yBest = YY(I);  
  if nanvar(D(:)) < 1E-10 || cnt == 10
    R = D(I);
    break
  end
  xExtent = (1+[-1 +1]*10^-cnt)*xBest;
  yExtent = (1+[-1 +1]*10^-cnt)*yBest;
  cnt = cnt+1;
end
% Finally:
% rectangle('Position',[xBest-R,yBest-R,2*R,2*R],'Curvature',[1 1],'EdgeColor','r');

我得到的Ander示例数据的结果是[x,y,r] = [0.7832, 2.0694, 0.7815]（这是相同的）。执行时间约为Ander解决方案的一半。

以下是中间图：

从一个点到所有提供点的集合的最大（清晰）距离的轮廓：

在考虑距离边界的距离后，仅保留距离点的前5％，并且仅考虑包含最大距离的区域（表面表示保留的值）：

最后：

Answer 3

您可以使用图像处理工具箱中的bwdist来计算图像的距离变换。这可以被视为一种创建voronoi图的方法，在@ AnderBiguri的答案中有很好的解释。

img = imread('AbmxL.jpg');
%convert the image to a binary image
points = img(:,:,3)<200;
%compute the distance transform of the binary image
dist = bwdist(points);
%find the circle that has maximum radius
radius = max(dist(:));
%find position of the circle
[x y] = find(dist == radius);
imshow(dist,[]);
hold on
plot(y,x,'ro');

Answer 4

使用“直接搜索”（可以在another answer中看到）解决此问题的事实意味着可以将此视为global optimization问题。存在各种方法来解决这些问题，每种方法都适用于某些场景。出于个人的好奇心，我决定使用遗传算法来解决这个问题。

一般来说，这种算法要求我们将解决方案视为一组在某种“适应度函数”下经历“进化”的“基因”。碰巧的是，在这个问题上很容易识别基因和适应度函数：

基因：x，y，r。
适应度函数：从技术上讲，最大圆圈面积，但相当于最大r（或最小-r，因为算法需要最小化的函数
特殊约束 - 如果r大于距最近提供点的欧氏距离（即圆圈包含一个点），则生物体“死亡”。

下面是这种算法的基本实现（“ basic ”，因为它完全没有优化，并且有很多优化空间^{^{没有双关语} < / sup>在这个问题上）。}

function [x,y,r] = q42806059b(cloudOfPoints)
% Problem setup
if nargin == 0
  rng(1)
  cloudOfPoints = rand(100,2)*5; % equivalent to Ander's initialization.
end
%{
figure(); plot(cloudOfPoints(:,1),cloudOfPoints(:,2),'.w'); hold on; axis square;
set(gca,'Color','k'); plot(0.7832,2.0694,'ro'); plot(0.7832,2.0694,'r*');
%}
nVariables = 3;
options = optimoptions(@ga,'UseVectorized',true,'CreationFcn',@gacreationuniform,...
                       'PopulationSize',1000);

S = max(cloudOfPoints,[],1); L = min(cloudOfPoints,[],1); % Find geometric bounds:
% In R2017a: use [S,L] = bounds(cloudOfPoints,1);

% Here we also define distance-from-boundary constraints.
g = ga(@(g)vectorized_fitness(g,cloudOfPoints,[L;S]), nVariables,...
       [],[], [],[], [L 0],[S min(S-L)], [], options);
x = g(1); y = g(2); r = g(3);
%{
plot(x,y,'ro'); plot(x,y,'r*'); 
rectangle('Position',[x-r,y-r,2*r,2*r],'Curvature',[1 1],'EdgeColor','r'); 
%}

function f = vectorized_fitness(genes,pts,extent)
% genes = [x,y,r]
% extent = [Xmin Ymin; Xmax Ymax]
% f, the fitness, is the largest radius.
f = min(pdist2(genes(:,1:2), pts, 'euclidean'), [], 2);
% Instant death if circle contains a point:
f( f < genes(:,3) ) = Inf;
% Instant death if circle is too close to boundary:
f( any( genes(:,3) > genes(:,1:2) - extent(1,:) | ...
        genes(:,3) > extent(2,:) - genes(:,1:2), 2) ) = Inf;
% Note: this condition may possibly be specified using the A,b inputs of ga().
f(isfinite(f)) = -genes(isfinite(f),3);
%DEBUG: 
%{
     scatter(genes(:,1),genes(:,2),10 ,[0, .447, .741] ,'o'); % All
 z = ~isfinite(f); scatter(genes(z,1),genes(z,2),30,'r','x'); % Killed
 z =  isfinite(f); scatter(genes(z,1),genes(z,2),30,'g','h'); % Surviving
 [~,I] = sort(f); scatter(genes(I(1:5),1),genes(I(1:5),2),30,'y','p'); % Elite
%}

这是典型运行的47代的“延时”情节：

（其中蓝点是当前一代，红十字是“insta-killed”生物，绿卦是“非insta-killed”生物，红圈标志着目的地。）

Answer 5

我不习惯图像处理，所以这只是一个想法：

实现像高斯滤镜（模糊）之类的东西，它将每个粒子（像素）转换为圆形渐变，其中r = image_size（所有这些都重叠）。这样，你应该得到一张图片，其中最白的像素应该是最好的结果。不幸的是，gimp的演示失败了，因为极端的模糊使点消失了。

或者，您可以通过标记区域中的所有相邻像素来增加所有现有像素（例如：r = 4），左边的像素将是相同的结果（与任何像素的距离最大的那些）

使用分布式粒子

5 个答案:

以下是中间图：