Question

任何人都可以证明严格二叉树中的节点数是2n-1，其中n是叶节点的数量吗？

Answer 1

通过归纳证明。基本情况是你有一片叶子。假设对于k叶是真的。然后你应该证明k + 1。所以你得到了新的节点，他的父节点和他的另一片叶子（根据严格的二叉树的定义）。剩下的叶子是k-1然后你可以使用归纳假设。所以节点的实际数量是2 *（k-1）+ 3 = 2k + 1 == 2 *（k + 1）-1。

Answer 2

我猜你真正想要的就是证明深度是log ₂（N），其中N是节点数。在这种情况下，答案很简单：对于任何给定深度D，节点数为2 ^D。

编辑：回应编辑过的问题：同样的事实非常适用。由于任意深度的节点数为2 ^D，因此树上的节点数量为2 ^D-1 + 2 ^D-2 + ... 2 ⁰ = 2 ^D -1。因此，平衡二叉树中的节点总数为2 ^D + 2 ^D -1。如果你设置n = 2 ^D，那么你已经完整的圆圈回到原来的等式。

Answer 3

按照基础知识，假设总共有x个节点，那么我们有n个节点的度数为1（叶子），1个度为2（根），x-n-1为度数3（内部节点）作为具有x个节点的树将具有x-1个边。所以总结

n + 3 *（x-n-1）+ 2 = 2（x-1）（等于总度数）

求解x得到x = 2n-1

Answer 4

我认为您正在尝试制作一个证据：N = 2L - 1其中L是数字叶节点和N是二叉树中的节点总数。

对于这个公式来说，你需要对二进制文件进行一些限制树被建造。每个节点都是一个叶子，这意味着它没有子节点，或者它是一个内部节点。内部节点有3个可能的配置：

2个子节点
1个孩子和1个内部节点
2个内部节点

所有三种配置都意味着内部节点连接到另外两个节点。明确地说排除节点连接到单个子节点的情况，如：

   o
  /
 o

非正式证明

从一片叶子的最小树开始：L = 1，N = 1替换为N = 2L - 1并且看到公式成立（1 = 1，到目前为止一直很好）。

现在向树中添加另一个最小块。要做到这一点，你需要添加另外两个节点和树看起来像：

    o
   / \
  o  o

请注意，您必须成对添加节点以满足前面所述的限制。添加一对节点总是会增加一个叶子（两个新的叶子节点，但是当它变成一个内部节点时你松开一个）。节点增长系列进展：1,3,5,7,9 ...但叶子生长是：1,2,3,4,5 ...这就是为什么配方 N = 2L - 1适用于此类树。

你可能会使用数学归纳法来构建一个正式的证据，但这适用于我。

Answer 5

通过数学归纳证明：

对于n = 1，在具有n个叶子节点的严格二叉树中存在（2n-1）个节点的语句为真。 {只有一个节点的树，即根节点}

让我们假设对于具有n-1个叶节点的树，该语句为真。因此树具有2（n-1）-1 = 2n-3个节点

要形成具有n个叶节点的树，我们需要将2个子节点添加到上述树中的任何叶节点。因此，节点总数= 2n-3 + 2 = 2n-1。

因此，证明了

Answer 6

To prove: A strictly binary tree with n leaves contains 2n-1 nodes.
Show P(1): A strictly binary tree with 1 leaf contains 2(1)-1 = 1 node.
Show P(2): A strictly binary tree with 2 leaves contains 2(2)-1 = 3 nodes.
Show P(3): A strictly binary tree with 3 leaves contains 2(3)-1 = 5 nodes.
Assume P(K): A strictly binary tree with K leaves contains 2K-1 nodes.
Prove P(K+1): A strictly binary tree with K+1 leaves contains 2(K+1)-1 nodes.
2(K+1)-1 = 2K+2-1
         = 2K+1
         = 2K-1 +2*
* This result indicates that, for each leaf that is added, another node must be added to the father of the leaf , in order for it to continue to be a strictly binary tree. So, for every additional leaf, a total of two nodes must be added, as expected.

Answer 7

int N = 1000; insert here the value of N
int sum = 0; // the number of total nodes
int currFactor = 1; 
for (int i = 0; i< log(N);  ++i) //the is log(N) levels
{
   sum += currFactor;
   currFactor *= 2; //in each level the number of node is double than the upper level
}

if(sum == 2*N - 1)
{
    cout<<"wow that the number of nodes is 2*N-1";
}

二叉树数据结构

7 个答案: