如何对m x n矩阵进行排序，该矩阵的所有m行都已排序并且n列已排序？

Question

给定一个m行和n列的矩阵，每个矩阵都有排序。如何有效地对整个矩阵进行排序？

我知道一个以O（m n log（min（m，n））运行的解决方案。我正在寻找更好的解决方案。

我知道的方法一次只需要2行/列并应用合并操作。

以下是一个例子：

[[1,4,7,10],

 [2,5,8,11],

 [3,6,9,12]]

是输入martix，其中每行和每列都已排序。

预期输出为：

[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]

另一个例子：

[[1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7],

 [1, 2, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9,10],

 [3, 3, 4, 8, 8, 9,10,11,11,12],

 [3, 3, 5, 8, 8, 9,12,12,13,14]]

Answer 1

我认为你不能比Ω（ mn log（min（ m ， n ））更快地完成它，至少在一般情况下不是。

假设（不失一般性） m ＆lt; 名词的。然后你的矩阵看起来像这样：

每个圆圈都是一个矩阵条目，每个箭头表示一个已知的顺序关系（箭头来源的条目小于箭头目的地的条目）。

要对矩阵进行排序，我们必须解决所有未知的顺序关系，其中一些显示在灰色框中：

对所有这些框进行排序需要：

  

2Σ _{k ＆lt; m} Ω（ k log k ）+（ n - m + 1）Ω（ m log m ）

     

=2Ω（ m ²log m ）+（ n - m + 1）Ω（ m log m ）

     

=Ω（ m n log m ）

Answer 2

如果元素是某个范围内的整数k，其中K = o（mn），我们可以使用带有额外空间的count排序来实现O（mn），否则mnlog（min（m，n））是最好的我们能做到。

Answer 3

通过创建二进制搜索树，我们可以在O（mn）时间内完成此操作。 从第一列中获取最后一个元素（上面提到的示例中的元素3），将其作为根。右边节点将是最后一行的n个更大元素，左边节点将是元素上面的元素，即。第（m-1）个或第二个最后一行的第一个元素。类似地，对于该元素，右节点将是该行的n个元素。同样，m-2将是左侧元素，并且其行中的所有n个元素将是正确的元素。同样向前推进我们将在O（mn）时间内创建一个二叉搜索树。这是O（mn），因为我们在插入时没有搜索，它是一个简单的插入，同时通过移动根节点指针进行遍历。 然后按顺序遍历此BST，这也将是O（mn）时间。