如何在假设中分析if-expressions？

Question

我试图证明以下问题：

lemma if_assumption: "(if a = 1 then 2 else 3) = 2 ⟹ a = 1"
  apply (cases "a = 1")
  apply simp_all

简化后，我得到以下公式：

3 = 2 ⟹ a ≠ 1 ⟹ False

if-expression的结果等于2 iff a等于1.所以，我想我可以用某种方式推断出这个事实。

如何证明这个引理？

Answer 1

你的陈述是不正确的。 Isabelle中的数字默认是多态的（您可以通过在按住Ctrl的同时将鼠标悬停在数字上来检查）。可能存在3 = 2保持的数字类型（例如，有限字段{0,1,2}）。在这种情况下，a可能不等于1。

如果您修改数字类型：

lemma if_assumption: "(if a = 1 then 2 else 3) = (2::nat) ⟹ a = 1"

你写的证明脚本经历了。或更短：

apply (auto split: if_splits)

...告诉系统将if _ then _ else _分成两个子目标。