如何用Mathematica解决这种多变量复发？

Question

我想解决这种复发关系：
$ a_ {m，n} = a_ {m-1，n} + a_ {m，n-1} $，$ a_ {0,0} = 0，a_ {m，0} = 1，a_ {0， N} = 1 $
它的输出形成了Tartaglia三角形，

解决方案应该只是组合...
$ A {M，N} =二项式（M + N，N）$

但是当我尝试用Mathematica解决它时

RSolve[{a[m, n] == a[-1 + m, n] + a[m, -1 + n], a[0, 0] == 0, 
  a[m, 0] == 1, a[0, n] == 1}, a[m, n], {m, n}]  

它只输出未评估的相同输入。

我做错了什么？

Answer 1

也许你知道这一点，但如果你只是想要解决这些问题，你就不需要RSolve。

Clear[a];
a[0, 0] = 0; a[m_, 0] = 1; a[0, n_] = 1;
a[m_, n_] := a[-1 + m, n] + a[m, -1 + n]
Column[Table[
  Row[Framed[#, FrameMargins -> 10] & /@ 
    Table[a[i, k - i], {i, 0, k}], " "], {k, 0, 8}], Center]

这似乎验证了您的配方，但似乎a[0,0]应该是1（这并不会使RSolve更快乐）

我怀疑RSolve根本无法处理它，但您可以尝试使用mathematica.stackexchange.com。

除此之外，如果你需要将它用于大数字，你可能应该使用memoization：

 a[m_, n_] := a[m,n] = a[-1 + m, n] + a[m, -1 + n]

为了完整性，预期答案为a[i,j]=Binomial[i+j,j]