Question

我一直试图在MATLAB中实现以下积分

给定一个数字n，我编写了返回一个包含n个元素的数组的代码，其中包含每个积分的近似值。

首先，我尝试使用＆＃39; for＆＃39;循环和第一行的重复关系。但是从第20个积分以及上面的值是完全错误的（正确到0有效数字和错误符号）。

如果我在第二行使用显式公式，并且两次使用＆＃39;环路。

随着n越大，近似值的误差也越大。

所以这里的主要问题是我没有找到尽可能减少错误的方法。

有什么想法吗？提前谢谢。

以下是代码示例和结果值，使用第二个公式：

对于n的正值，该积分不能具有值> 1或<0

Answer 1

首次尝试：

我尝试了迭代方法并找到了有趣的东西。所有n的近似值可能都不正确。事实上，如果我在每个循环中跟踪(n-1)*I(n-1)，我可以看到

I = zeros(20,3);
I(1,1) = 1-1/exp(1);
for ii = 2:20
    I(ii,2) = ii-1;
    I(ii,3) = (ii-1)*I(ii-1,1);
    I(ii,1) = 1-I(ii,3);
end

n = 18附近有一些问题。事实上，I18 = 0.05719和18 * I18 = 1.029，大于1.我认为此程序中没有任何数字错误或数字溢出。

第二次尝试：

为了确保数学是正确的（我在纸上验证了两次）我使用trapz来数值计算积分，而n = 18没有引起任何问题。

>> x = linspace(0,1,1+1e4);
>> f = @(n) exp(-1)*exp(x).*x.^(n-1);
>> f = @(n) exp(-1)*exp(x).*x.^(n-1)*1e-4;
>> trapz(f(5))

ans =

     1.708934160520510e-01

>> trapz(f(17))

ans =

     5.571936009790170e-02

>> trapz(f(18))

ans =

     5.277113416899408e-02

>>

仔细看看如下。 I18与（稳定）数值方法和（不稳定）迭代方法之间略有不同（到第4位有效数字）。因此，18 * I18可能超过1。

I = zeros(20,3);
I(1,1) = 1-1/exp(1);
for ii = 2:20
    I(ii,2) = ii-1;
    I(ii,3) = (ii-1)*I(ii-1,1);
    I(ii,1) = 1-I(ii,3);
end

J = zeros(20,3);
x = linspace(0,1,1+1e4);
f = @(n) exp(-1)*exp(x).*x.^(n-1)*1e-4;
J(1,1) = trapz(f(1));
for jj = 2:20
    J(jj,1) = trapz(f(jj));
    J(jj,2) = jj-1;
    J(jj,3) = (jj-1)*J(jj-1,1);
end

我怀疑由于数值计算的性质，每个迭代步骤都有一个错误。如果迭代很长，则错误会传播，不幸的是，在这种情况下，会迅速放大。为了验证这一点，我将上述两种方法合并为一种混合算法。在大多数情况下，使用迭代方法，偶尔从头开始评估数值积分，而不依赖于先前的迭代。

K = zeros(40,4);
K(1,1) = 1-1/exp(1);
for kk = 2:40
    K(kk,2) = trapz(f(kk));
    K(kk,3) = (kk-1)*K(kk-1,1);
    K(kk,4) = 1-K(kk,3);
    if mod(kk,5) == 0
        K(kk,1) = K(kk,2);
    else
        K(kk,1) = K(kk,4);
    end
end

如果迭代持续超过4步，误差放大将足以反转符号，并开始不可恢复的振荡。

代码应该能够解释所有数据结构。无论如何，让我把重点放在这里。第二列是trapz的结果，它是在I（n）的非迭代积分定义上完成的数值积分。第三列是（n-1）* I（n-1）并且应该总是正且小于1.第四列是1-（n-1）* I（n-1）并且应该总是正的。第一列是我在trapz结果和迭代结果之间做出的选择，是I（n）的“真实”值。

从这里可以看出，在每次迭代中，与独立数值方式相比存在小的误差。错误在第3次和第4次迭代中增加，最终在第5次破坏。这是在n = 25附近观察到的，在我从头开始每5个循环中选择数值结果的情况下。

结论：对这个积分的任何定义都没有错。然而，不幸的是，在评估表达式时数值误差是聚合的，因此限制了您执行计算的方式。

近似MATLAB中的积分

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