是否存在由光谱（Fiedler向量）二分法产生的子树断开的条件？

Question

我正在尝试将无向树划分为两个子树，每个子树都连接在一起。我的理解是，这可以使用描述here所述的Fiedler向量来完成。但是，当我按照这个过程时，结果子树没有连接。

我用来实现二分的代码如下，并且未能平分的树被定义为here。

import networkx as nx
from itertools import compress

g = nx.from_dict_of_dicts(broken_g)

def split_graph(graph):
    """Split a graph into two pieces using the Fiedler vector.

    See https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_partition#Fiedler_eigenvalue_and_eigenvector
    """

    assert nx.is_connected(graph), 'must pass connected graph'

    fiedler_vec = nx.fiedler_vector(graph, normalized=True, weight=False)

    mask_a = fiedler_vec > 0
    mask_b = ~ mask_a

    subgraph_a_nodes = compress(graph.nodes(), mask_a)
    subgraph_b_nodes = compress(graph.nodes(), mask_b)

    subgraph_a = graph.subgraph(subgraph_a_nodes)
    subgraph_b = graph.subgraph(subgraph_b_nodes)

    assert nx.is_connected(subgraph_a) and nx.is_connected(subgraph_b), 'split did not produce connected subgraphs'

    return [subgraph_a, subgraph_b]

split_graph(g)

当我运行时，所得到的子树都没有连接 - 每个子树都有一个或两个大的连接组件和几个孤立的节点。绘制Fiedler向量的值并识别孤立的节点如下所示：

这到底是怎么回事？

Answer 1

树的一个特征是树中每对顶点之间只有一条路径。因此，当切割边缘时，该边缘上的顶点不再连接，因为这是它们唯一的路径。由于连通性是可交换的，因此切口一侧的每个顶点都与切口另一侧的每个顶点断开连接。结果是，当您剪切单个边时，始终将树分割为两个连接的子树。看一下这个维基百科页面，看起来使用光谱二分法可能会产生削减多个边缘的解决方案。基本上任何削减超过1个边缘的二分法都会产生超过2个连接的子树。