Question

考虑一个布尔数组a[n]，其中每个元素都是一个单元格。如果一个且仅一个相邻单元处于活动状态，则单元在下一代中变为活动（设置为true），否则它将变为死区（设置为false）。第一个和最后一个单元格被认为是邻居。

给定a[n]，数组大小n和正整数t，我希望在生成进化后计算a[n]，但不使用t上的任何迭代算法，可能非常大。

我观察到的内容：如果我们将S_k(a[n])定义为a[n]的{{1>} 循环移位，则k元素。也就是说，如果a[0]，a[k]在一个班次后变为0 <= k < n。将a[n] ^ b[n]定义为两个布尔数组之间的元素xor运算。如果w[n]是布尔数组，则下一代可以用

表示

r(w[n]) = S_{-1}(w[n]) ^ S_1(w[n])

xor运算符^是关联的和可交换的。使用此属性，可以通过

计算下一代w[n]

r^2(w[n]) = ( S_{-2}(w[n]) ^ S_0(w[n]) ) ^ ( S_0(w[n]) ^ S_2(w[n]) )
          = S_{-2}(w[n]) ^ S_2(w[n])

如果我们让s_j = S_{-j}(w[n]) ^ S_j(w[n])，则有一种模式

r(w[n]) = s_1
r^2(w[n]) = s_2
r^3(w[n]) = s_3 ^ s_1
r^4(w[n]) = s_4
...
r(s_m) = s_{m-1} ^ s_{m+1}

此外，s_n = 0（零数组）因为完整的循环移位是原始数组。如何使用它来导出r^t(w[n])的非迭代表达式？

编辑：模式是

[1]
[2]
[1,3]
[4]
[3,5]
[2,6]
[1,3,5,7]
[8]

Answer 1

让我们将您的输入表示为Z / 2Z元素大小为a_0的列向量n。

您可以使用矩阵乘法计算下一代向量a_1：

a_1 = M.a_0 = |0 1 0 0 ... 0 0 0|  |a_01|
              |1 0 1 0 ... 0 0 0|  |a_02|
              |0 1 0 1 ... 0 0 0|  |a_03|
              ....
              |0 0 0 0 ... 0 1 0|  |... |
              |0 0 0 0 ... 1 0 1|  |... |
              |0 0 0 0 ... 0 1 0|  |a_0n|

鉴于此递归关系，您可以使用以下公式计算t时的生成：

a_t = M^t . a_0

您可以使用重复的平方轻松计算M^t中的O(n^3.log(t))。

Answer 2

据我所知，正如here所述，没有非迭代的方法来解决这个游戏。即使是'Hashlife'算法也是迭代的，但有很多辅助记忆。

但你可以用一些方法来选择普通的迭代算法：

使用位而不是int数组：在某些情况下，这种方式可以节省大量内存并加快速度。
存储几代比特：您可以轻松比较不同代的比特，以确定代之间是否存在一些重复模式，在这种情况下，不再需要进行计算。考虑到你只有一个维度，机会可能非常高。

Answer 3

我认为你需要发现更多的模式...

它会继续这样：

1
 2 
1 3
   4
  3 5
 2   6
1 3 5 7
       8
      7 9
     6   a
    5     b
   4       c
  3   ???   d
 2           e
1 3 5 7 9 b d f
               g

如果是这样，最简单的方法似乎是计算最接近2的幂<= t，然后对余数（t＆＃39; = t-2 ^ n）等进行相同的计算，所以你＆＃ 39; d下降到O（log（t））。如果???区域实际上是空的，你应该能够将步骤限制为3（通过计算之前的值来避免2 ^ n-1，然后再进行一步）。

一维生命游戏的非迭代算法

3 个答案: