Question

假设我有一个矩阵A.我想计算它的2范数/频谱范数。我怎样才能有效地计算出来？

我知道矩阵的2范数等于其最大奇异值。因此，以下MATLAB代码的结果将为零

>> [u,s,v]=svd(A,'econ');
norm(A,2)-s(1,1)

但要知道2范数我必须计算全矩阵A的SVD，有没有有效的方法来计算2范数？ MATLAB代码形式的答案将得到很好的回应。

Answer 1

此示例包含norm和随机数据

A = randn(2000,2000);
tic; 
n1 = norm(A) 
toc;

给出

n1 =  89.298
Elapsed time is 2.16777 seconds.

您可以尝试eigs仅查找对称矩阵A'*A（或A*A'的一个（最大）特征值，如果<{>}小于A矩形）。它使用Lanczos iteration方法。

tic; 
B = A'*A; % symmetric positive-definite. B = A*A' if it is smaller
n2 = sqrt(eigs(B, 1)), 
toc

输出：

n2 =  89.298
Elapsed time is 0.311942 seconds.

如果您不想使用norm或eigs，并且您的矩阵A具有良好的属性（正确分隔的奇异值），您可以尝试使用一个power iteration方法：

tic; 
B = A'*A; % or B = A*A' if it is smaller
x = B(:,1); % example of starting point, x will have the largest eigenvector
x = x/norm(x); 
for i = 1:200 
   y = B*x; 
   y = y/norm(y);
   % norm(x - y); % <- residual, you can try to use it to stop iteration
   x = y; 
end; 
n3 = sqrt(mean(B*x./x)) % translate eigenvalue of B to singular value of A
toc

对于相同的随机矩阵（不是特别好的属性），给出~0.1%准确的解决方案：

n3 =  89.420
Elapsed time is 0.428032 seconds.

如何有效地计算矩阵的2范数？

1 个答案: