问题：您需要找到图形的最小生成树（即所述图形中的边缘集合S，使得S中的边缘与相应的顶点一起形成树;另外，从所有这样的集合中， S中所有边的成本之和必须是最小的）。但是有一个问题。您将获得一组初始固定边K，以便K必须包含在S中。
换句话说，找到包含一组固定边的图形的MST。
我的方法：标准的Kruskal算法，但在其他任何东西之前加入所有顶点，如固定边缘集所指示的那样。也就是说，如果K = {1,2}, {4,5}我应用Kruskal的算法，而不是最初将每个节点放在它自己的单独集合中，而是节点1和2在同一个集合中，节点4和5在同一个集合中。
问题：这有效吗？有证据证明这总能产生正确的结果吗？如果没有，任何人都可以提供一个反例吗？
P.S。问题只是询问找到一个MST。对所有这些都不感兴趣。
答案 0 :(得分：2)
如果我正确理解了这个问题，Prim's algorithm会更适合这个，因为可以将连接的组件初始化为生成的生成树中所需的边缘（加上剩余的孤立的节点）。不允许所需的边包含循环，否则不存在包含它们的生成树。
话虽如此，显然也可以使用Kruskal's algorithm，因为它明确表示可以用来找到以最低成本方式连接两个森林的边缘。
粗略地说，当给定图形的森林形成Matroid时，贪婪的方法会产生所需的结果（即最小权重的树），而不管你开始的independent set。
答案 1 :(得分：2)
是的，只要您的初始边缘组不形成循环，它就会起作用。
请记住，生成的树的重量可能不是最小的，因为您修复的边可能不是图中任何MST的一部分。但是你会得到最轻的生成树，它满足那些固定边是树的一部分的约束。
如何实施：
要实现此功能，您只需更改需要修复的边的边权重。只需在图表中选择最低出现的边缘权重，例如min_w，从中减去1并分配这个新权重，即。 （min_w-1）到你需要修复的边缘。然后在此图表上运行Kruskal。
为什么会这样：
显然，在选择图表中的任何其他边缘之前，Kruskal将挑选您需要的所有边缘（因为这些是最轻的）。当Kruskal完成时，得到的边缘集合是G＆＃39; （您更改了一些权重的图表）。请注意，由于您只更改了固定边集的值，因此算法永远不会在其他边（不是固定集的一部分）上做出不同的选择。如果你想到Kruskal认为的边缘，作为边的排序列表，那么改变你需要修复的边的值会将这些边移动到列表的前面，但它不会改变另一边的顺序。列表中的边相对于彼此。
注意：正如您可能注意到的那样，给您的边缘最轻的重量与您建议的基本相同。但我认为有理由说明它为何有效。随心所欲。
我不推荐使用Prim，因为该算法会从当前连接的组件逐渐扩展生成树（在开始时通常以单个节点开始）。您需要单独处理大型组件（因为您的固定边缘可能不是全部都在一个组件中）的情况 - 可能并不难，但您必须要处理它。 OTOH与Kruskal你不必适应任何事情，只需在运行常规算法之前稍微操纵你的图形。