Question

在使用double fma(double x, double y, double z);时，我希望下面的输出行中标有d的非零'?'。它出现在内部仅使用long double精度，而不是指定的无限精度。

fma函数计算（x×y）+ z，舍入为一个三元运算：它们计算值（好像）为无穷大精度并根据当前的舍入模式舍入一次到结果格式。 §7.12.13.12（我的重点）

我的fma()也被破坏了，或者我在代码或编译选项中如何错误地使用它？

#include <float.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  // Invoking: Cygwin C Compiler
  // gcc -std=c11 -O0 -g3 -pedantic -Wall -Wextra -Wconversion -c -fmessage-length=0 
  //   -v -MMD -MP -MF"x.d" -MT"x.o" -o "x.o" "../x.c"

  printf("FLT_EVAL_METHOD %d\n", FLT_EVAL_METHOD);
  for (unsigned i = 20; i < 55; i++) {
    volatile double a = 1.0 + 1.0 / pow(2, i);
    volatile double b = a;
    volatile double c = a * b;
    volatile double d = fma(a, b, -c);
    volatile char *nz = ((i >= 27 && a != 1.0) == !d) ? "?" : "";
    printf("i:%2u a:%21.13a c:%21.13a d:%10a %s\n", i, a, c, d, nz);
  }
  return 0;
}

输出

FLT_EVAL_METHOD 2
i:20 a: 0x1.0000100000000p+0 c: 0x1.0000200001000p+0 d:    0x0p+0 
i:21 a: 0x1.0000080000000p+0 c: 0x1.0000100000400p+0 d:    0x0p+0 
i:22 a: 0x1.0000040000000p+0 c: 0x1.0000080000100p+0 d:    0x0p+0 
i:23 a: 0x1.0000020000000p+0 c: 0x1.0000040000040p+0 d:    0x0p+0 
i:24 a: 0x1.0000010000000p+0 c: 0x1.0000020000010p+0 d:    0x0p+0 
i:25 a: 0x1.0000008000000p+0 c: 0x1.0000010000004p+0 d:    0x0p+0 
i:26 a: 0x1.0000004000000p+0 c: 0x1.0000008000001p+0 d:    0x0p+0 
i:27 a: 0x1.0000002000000p+0 c: 0x1.0000004000000p+0 d:   0x1p-54 
i:28 a: 0x1.0000001000000p+0 c: 0x1.0000002000000p+0 d:   0x1p-56 
i:29 a: 0x1.0000000800000p+0 c: 0x1.0000001000000p+0 d:   0x1p-58 
i:30 a: 0x1.0000000400000p+0 c: 0x1.0000000800000p+0 d:   0x1p-60 
i:31 a: 0x1.0000000200000p+0 c: 0x1.0000000400000p+0 d:   0x1p-62 
i:32 a: 0x1.0000000100000p+0 c: 0x1.0000000200000p+0 d:    0x0p+0 ?
i:33 a: 0x1.0000000080000p+0 c: 0x1.0000000100000p+0 d:    0x0p+0 ?
i:34 a: 0x1.0000000040000p+0 c: 0x1.0000000080000p+0 d:    0x0p+0 ?
...
i:51 a: 0x1.0000000000002p+0 c: 0x1.0000000000004p+0 d:    0x0p+0 ?
i:52 a: 0x1.0000000000001p+0 c: 0x1.0000000000002p+0 d:    0x0p+0 ?
i:53 a: 0x1.0000000000000p+0 c: 0x1.0000000000000p+0 d:    0x0p+0 
i:54 a: 0x1.0000000000000p+0 c: 0x1.0000000000000p+0 d:    0x0p+0

版本信息

gcc -v

Using built-in specs.
COLLECT_GCC=gcc
COLLECT_LTO_WRAPPER=/usr/lib/gcc/i686-pc-cygwin/5.3.0/lto-wrapper.exe
Target: i686-pc-cygwin
Configured with: /cygdrive/i/szsz/tmpp/gcc/gcc-5.3.0-5.i686/src/gcc-5.3.0/configure --srcdir=/cygdrive/i/szsz/tmpp/gcc/gcc-5.3.0-5.i686/src/gcc-5.3.0 --prefix=/usr --exec-prefix=/usr --localstatedir=/var --sysconfdir=/etc --docdir=/usr/share/doc/gcc --htmldir=/usr/share/doc/gcc/html -C --build=i686-pc-cygwin --host=i686-pc-cygwin --target=i686-pc-cygwin --without-libiconv-prefix --without-libintl-prefix --libexecdir=/usr/lib --enable-shared --enable-shared-libgcc --enable-static --enable-version-specific-runtime-libs --enable-bootstrap --enable-__cxa_atexit --with-dwarf2 --with-arch=i686 --with-tune=generic --disable-sjlj-exceptions --enable-languages=ada,c,c++,fortran,java,lto,objc,obj-c++ --enable-graphite --enable-threads=posix --enable-libatomic --enable-libcilkrts --enable-libgomp --enable-libitm --enable-libquadmath --enable-libquadmath-support --enable-libssp --enable-libada --enable-libjava --enable-libgcj-sublibs --disable-java-awt --disable-symvers --with-ecj-jar=/usr/share/java/ecj.jar --with-gnu-ld --with-gnu-as --with-cloog-include=/usr/include/cloog-isl --without-libiconv-prefix --without-libintl-prefix --with-system-zlib --enable-linker-build-id --with-default-libstdcxx-abi=gcc4-compatible
Thread model: posix
gcc version 5.3.0 (GCC)

Answer 1

这是Cygwin的错。或者更确切地说，它使用的 newlib C库。 explicitly says它甚至没有尝试使fma()仿真正确。

自2015年以来，GNU C库对几乎所有fma变体都有正确的模拟。有关详细信息以及用于实现此功能的补丁，请参阅源软件错误13304。

如果效率不是问题，那么我只想使用例如。

#if defined(__CYGWIN__) && !defined(__FMA__) && !defined(__FMA3__) && !defined(__FMA4__)
#define fma(x, y, z)  fma_emulation(x, y, z)

double fma_emulation(double x, double y, double z)
{
    /* One of the implementations linked above */
}
#endif

我个人根本不使用Windows，但如果有人使用Windows（使用Windows并需要fma仿真），我建议他们尝试在上游推送补丁，并提供指向GNU C library discussion on correct fma emulation的链接。 / p>

我想知道的是，是否有可能只检查结果的低 M 位（在舍入中丢弃）以确定结果中ULP的正确值，以及使用nextafter()相应地调整使用直接 a × b + c 操作获得的结果;而不是使用multiprecision算法来实现整个操作。

编辑：不，因为添加可能会溢出，丢弃一个额外的位作为丢弃部分的MSB。仅仅因为这个原因，我们确实需要完成整个操作。另一个原因是，如果 a × b 和 c 有不同的符号，那么我们不会增加，而是从较大的幅度减去幅度较小（结果使用较大的符号），这可能导致清除较大的几个高位，并且会影响舍入中整个结果的哪些位。

但是，对于x86和x86-64架构上的IEEE-754 Binary64 double，我确实认为使用64位（整数）寄存器和128位产品进行fma仿真仍然是非常可行的。我将试验一个表示，其中64位寄存器中的低2位用于舍入决策位（LSB是所有丢弃位的逻辑或），53位用于尾数，以及一个进位，留下8位未使用和忽略的高位。当无符号整数尾数转换为（64位）双精度时执行舍入。如果这些实验产生任何有用的东西，我将在这里描述它们。

初步调查结果：32位系统上的fma()仿真速度很慢。 387 FPU上的80位内容在这里基本没用，在32位系统上实现53×53位乘法（和位移）只是......不值得努力。在我看来，与上面链接的glibc fma()仿真代码已经足够了。

其他调查结果：处理非有限值讨厌。（次正规只是稍微烦人，需要特殊处理（因为尾数中的隐式MSB为零）。）如果三个参数中的任何一个是非有限的（无穷大或某种形式的NaN），则返回a*b + c（没有融合）是唯一理智的选择。处理这些情况需要额外的分支，这会减慢仿真速度。

最终决定：以优化方式处理的案例数量（而不是使用glibc仿真中使用的多精度“肢体”方法）足以使这种方法不值得付出努力。如果每个肢体是64位，则 a ， b 和 c 中的每一个分布在最多2个肢体上，并且 a × b 超过三肢。（对于32位肢体，分别只有3和5个肢体。）取决于 a × b 和 c 是否具有相同的肢体或者不同的符号，只有两种根本不同的情况需要处理 - 在不同的符号情况下，加法变为减法（从较大的较小，结果得到与较大值相同的符号）。

简而言之，多精度方法更好。所需的实际精度非常有限，甚至不需要动态分配。如果可以有效地计算 a和 b 的尾数的乘积，则多精度部分限于保持产品并处理加法/减法。最终舍入可以通过将结果转换为53位尾数，指数和两个额外的低位来实现（更高的是舍入中丢失的最高位，而低位是其余位丢失的OR。四舍五入）。本质上，关键操作可以使用整数（或SSE / AVX寄存器）完成，最终从55位尾数转换为double，根据当前规则处理舍入。

我的fma（）坏了吗？

1 个答案: