我试图找到解决以下问题的算法。
说我有许多对象A，B，C，......
我有这些对象的有效组合列表。每种组合的长度为2或4。
例如。 AF，CE，CEGH，ADFG，......等等。
对于两个对象的组合，例如。 AF，组合的长度为2.对于四个对象的组合，例如CEGH，组合的长度。
我只能选择不重叠的组合，即我不能选择AF和ADFG，因为它们都需要对象＆＃39; A＆＃39;和＆＃39; F＆＃39;。我可以选择AF和CEGH组合，因为它们不需要普通对象。 如果我的解决方案只包含两个组合AF和CEGH，那么我的目标是组合长度的总和，即2 + 4 = 6.
给定一个对象列表及其有效组合，如何选择彼此不重叠的最有效组合，以便最大化组合长度的总和？我不想将其表述为IP，因为我正在处理具有180个对象和1000万个有效组合的问题实例，并且使用CPLEX解决IP的速度非常慢。寻找一些其他优雅的方法来解决它。我可以将其转换为网络吗？并使用max-flow算法解决它？还是一个动态程序？坚持如何解决这个问题。
答案 0 :(得分：0)
你可以将这个问题减少到maximum weighted clique problem，遗憾的是，这是NP难的。
构建一个图形，使每个组合都是一个重量等于组合长度的顶点，如果相应的组合不共享任何对象（即如果你可以同时选择它们），则连接顶点。然后，当且仅当它是该图中的派系时，解决方案才有效。
谷歌上的简单搜索为这个问题带来了很多近似算法，例如this one。
答案 1 :(得分：0)
我第一次尝试将此问题显示为NP-hard是错误的，因为它没有考虑到只允许组合2或4的事实。但是，使用Jim D.'s suggestion从3-dimensional matching（3DM）减少，我们可以证明问题仍然是NP难的。
我将展示你的问题的自然决策问题形式（＆＃34;给定一组O对象，以及来自O的2或4个对象的组合C和整数m，是否存在C的子集D，使得D中的所有集合成对不相交，并且D中所有集合的并集具有至少m的大小？并且＃34;）是NP难的。显然，优化问题（即您的原始问题，我们寻求最大化m的组合的实际子集）至少与此问题一样困难。 （要看到优化问题不是决策问题，请注意，您可以首先使用m上的二进制搜索找到解决方案所存在的最大m值，您可以在其中解决决策问题在每个步骤中出现问题，然后，一旦找到这个最大m值，就解决了一系列决策问题，其中每个组合依次被删除：如果删除某个特定组合后的解决方案仍然是＆＃34;是＆＃34; ，然后它也可能被排除在所有未来的问题实例之外，而如果解决方案变为＆＃34; NO＆＃34;，则有必要将此组合保留在解决方案中。）
给定3DM的实例（X，Y，Z，T，k），其中X，Y和Z是彼此成对不相交的集合，T是X * Y * Z的子集（即，一组有序三元组分别有来自X，Y和Z的第一，第二和第三个成分）并且k是一个整数，我们的任务是确定是否存在任何T的子集U，使得| U | ＆gt; = k并且U中的所有三元组是成对不相交的（即，回答问题，＆＃34; T中是否存在至少k个非重叠三元组？＆＃34;）。要将任何此类3DM实例转换为您的问题实例，我们需要做的就是从T中的每个三元组创建一个新的4组合，方法是为每个三元组添加一个不同的虚拟值。构造的问题实例中的对象集将包含X，Y，Z和| T |的并集我们创建的虚拟值。最后，将m设置为k。
假设原始3DM实例的答案为＆＃34; YES＆＃34;，即T中至少有k个非重叠三元组。那么这种解决方案中的每个k三元组对应于4 - 在输入C中组合你的问题，并且这四个组合中没有两个重叠，因为通过构造，它们的第四个元素都是不同的，并且通过假设。因此，在您的问题实例中至少有m = k个非重叠的4组合，因此该问题的解决方案也必须是＆＃34;是＆＃34;。
在另一个方向，假设您构造的问题实例的解决方案是＆＃34;是＆＃34;，即在C中至少有m个非重叠的4组合。我们可以简单地采用4个组合中的每一个的前3个元素（丢掉第四个）在T中产生一组k = m个非重叠三元组，因此原始3DM实例的答案也必须是“＃34;是”＆＃34;
我们已经证明，对一个问题的肯定答案意味着对另一个问题的答案是肯定的，因此对一个问题的否定答案意味着对另一个问题没有答案。因此问题是等价的。您的问题的实例可以明确地在多项式时间和空间中构建。因此，你的问题是NP难的。