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Question

在Haskell中记忆递归函数的最快方法是什么？

背景：最近我一直在Haskell中解决Project Euler问题。许多需要许多递归定义的组合或数理论函数的计算，例如斐波那契数。如果这些函数被记忆，性能会大大提高，也就是说，函数的结果会被缓存以供以后使用。

我已经看到很多解决这个问题的方法。最优雅似乎是this.一个使用Data.IntMap（或哈希表）和State monad。在this answer中建议使用基于树的解决方案，这种解决方案似乎相当普遍。再举一个例子，请参阅this blog post。我见过其他使用内置函数的解决方案。第2节here中有一个fix，而且似乎编译器有时可以massaged into memoizing而无需额外的工作。还有几个prebuilt solutions。

我想知道Project Euler中使用的各种函数在实践中哪种memoization方法最快。我的直觉说哈希表库是，因为哈希表似乎是命令式语言中首选的字典结构。纯粹的功能树解决方案很酷，但我的谷歌搜索告诉我他们是strictly worse than hash tables in terms of asymptotic performance.

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一些评论说这个问题太宽泛而无法回答，经过反思我同意。因此，让我给出两个具体的memoize函数示例：一个递归计算第n个Fibonacci数的函数，以及一个递归计算加泰罗尼亚数的函数。我想为大n计算这些函数很多次。

我知道这些有明确的公式，但让我们忽略它，因为这里的真正要点是使用它们来记录备忘录技术。

Answer 1

当试图找到第n个斐波纳契数时，您需要记住的唯一数字是前两个数字。你可以像（f n-1，f n）这样的元组，并在每个循环上更新这个元组。请注意，更新元组是通过指针操作完成的，并且计算成本不高。

更清洁，更智能的替代方案是：

fibs :: [Integer]
fibs = fibcreator 0 1
  where
    fibcreator a b = a : fibcreator b (a+b)

nth = take n fibs

但我见过的最好的算法之一是：

让我们定义矩阵m = [e11 = 1，e12 = 1，e21 = 1，e22 = 0]
得到第n个斐波那契数，我们计算m'= m ^（n-1）
e11元素是第n个斐波纳契数

现在最棒的是，为了获得17个斐波纳契数，我们可以做到

m' = ((((m^2)^2)^2)^2) * m

这显着缩短了计算时间，并被动地将记忆嵌入算法中。重点是Haskell已经使用这种算法来计算幂函数，因此您不需要实现它。完整的实施是：

data Matrix = Matrix Integer Integer Integer Integer

instance Num Matrix where
  (*) (Matrix a11 a12 a21 a22) (Matrix b11 b12 b21 b22)
   = Matrix (a11*b11 + a12*b21) (a11*b12 + a12*b22) (a21*b11 + a22*b21) (a21*b12 + a22*b22)

fib4 :: Integer -> Integer
fib4 0 = 0
fib4 n = x
  where
    (Matrix x _ _ _) = Matrix 1 1 1 0 ^ (n-1)

在Haskell中记忆的最有效方法是什么？

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1 个答案: