编程数学：如何扩展函数

Question

假设我有一个递归定义的数学函数。像这样：

T(1)(x) = 1
T(n)(x) = 2x*T(n-1)(x)-1

所以：

T(1)(x) = 1
T(2)(x) = 2x*1-1 = 2x-1
T(3)(x) = 2x*(2x-1)-1 = 4x^2 - 2x - 1
/* and so on... */

基本上，如果给出T(15)(x)，我知道如何编写一个计算x的程序。这不是问题。然而我想知道的是 - 如何编写一个程序，它会给我一个类似于T（10）（x）的多项式（一个看起来像：16x^4 + 3x^3 ...）。

简而言之：我如何递归计算数学表达式，但使用x作为变量（未设置）。

非常感谢任何帮助，

保

Answer 1

我认为您的Mathematica标签可能有误，但无论如何。 Mathematica有一个嵌入式函数RSolve来应对这个问题：

   RSolve[{a[n] == 2  x a[n - 1] - 1, a[1] == 1}, a[n], n]  

结果是：

   a[n] = (x + 2^n (-1 + x) x^n)/(x (-1 + 2 x))    

正如预期的那样

   a[3] = -1 - 2 x + 4 x^2

HTH

Answer 2

根据评论，我认为有四种选择，按复杂程度排列。

首先，您可以为您要查找的给定多项式实现显式公式（如果存在）。在切比雪夫多项式的情况下，确实存在符合您需求的explicit formula（3 ^rd 总和）。

但是，如果您正在寻找更通用的东西，即多种类型的多项式，则可以创建多项式的显式列表，直到某个荒谬的顺序，并使用用户提供的变量名进行字符串替换。在大多数系统中，这不会占用大量内存。

第三，如果你希望保持一般性并且仍然递归地产生多项式，你可以使用计算机代数系统，如Mathematica。例如，您可以通过MathLink访问Mathematica，或使用webMathematica的实例，甚至可以从WolframAlpha中删除输出。虽然，我认为你会遇到版权问题。

最后，最复杂，最通用的是创建abstract syntax tree。如果你可以使用c ++，我会看boost.proto这基本上是为你做的。但是，如果您自己创建它，您将有三种类型的二进制操作，add，multiply和power以及两种类型的叶节点，coefficient和{ {1}}。现在，要将树按摩到可以使用它的形式，您必须在树中移动并应用转换规则：替换子树并交换父和子。替换将通过应用标准数学规则来改变树，例如2 + 2变为4并且x * x变为x ² 。但是，真正的工作将是交换父节点和子节点，因为这将用于应用分布式法则（多 - >添加成为add - ＆gt; mult）并提供使用替换​​的机会。

前两个选项是迄今为止最简单的选项，如果可用，我会选择第一个选项。也就是说，我发现实现MathLink接口或语法树更有趣。

修改：通过将父母与其子女交换来澄清我的意思，请考虑variable的情况。

影响4个节点：“Plus”，“Times”和系数1.但是，很容易看出这将通过消除第二个“Times”来减少节点的总数。