证明（w * w ^ R）^ R = w * w ^ R

Question

问题：如果在T *中存在w，证明（w * w ^ R）^ R = w * w ^ R

嗨，我是算法理论的新手，我很难理解如何证明这一点，如果有人能暗示我朝着正确的方向发展，那将非常感激。

注意： R表示字符串被反转，例如：（abc）^ R = cba

另请注意： *表示连接（abc * def）= abcdef

Answer 1

在一般情况中，尝试使用组理论（您甚至有提示：＆＃34;另请注意：*表示连接所以(abc * def) = abcdef＆＃34）：

  a, b, c, ...          - (characters)    - group's elements (generators in fact)
  a * b       == ab     - (concatenation) - group's operation
  ε                     - (empty string)  - group's 1 
  a..z**-1    == z..a   - rule for the item reversing; a**-1 == a

到目前为止，对于我们拥有的任何**-1项目来说，字符串反转是ab...yz操作到目前为止很好，

  (ab...yz)((ab..yz)^R) == ab..yz * zy ..ba == ab..yzzy..ba

    since zz == z * z == ε (z == z**-1) 

  we have

    ab..yzzy..ba == 
    ab..yy..ba == 
    ab..ba ==
    ε

您的定理非常简单：将字符串反转更改为**-1并具有

  (w * w**-1)**-1=(w**-1)**-1 * w**-1 == w * w**-1 

对于特定情况，我们构建的群组可能过度，但是，当解决类似问题时，它会非常有用。