大数的算术精度问题

Question

我正在编写一个程序来处理与10 ** 100一样大的数字，在处理较小的数字时一切看起来都很好但是当值变大时我会遇到这些问题：

>>> N = 615839386751705599129552248800733595745824820450766179696019084949158872160074326065170966642688
>>> ((N + 63453534345) / sqrt(2)) == (N / sqrt(2))
>>> True

显然上述比较是错误的，为什么会发生这种情况？

程序代码：

from math import *

def rec (n):
    r = sqrt (2)
    s = r + 2
    m = int (floor (n * r))
    j = int (floor (m / s))
    if j <= 1:
        return sum ([floor (r * i) for i in range (1, n + 1)])
    assert m >= s * j and j > 1, "Error: something went wrong"
    return m * (m + 1) / 2 - j * (j + 1) - rec (j)

print rec (1e100)

编辑：

我不认为我的问题与上述链接问题重复，因为n, m and j中的小数点对我来说并不重要，我正在寻找避免这种精确问题的解决方案。

Answer 1

除以标准浮点数之外，您无法保留所需的精度，因此您应该除以Fraction。 Fraction模块中的fractions类允许您进行精确的有理算术。

当然，2的平方根不合理。但如果错误少于10**100中的一部分，您将获得正确的结果。

那么，如何计算sqrt(2)的近似值为Fraction？有几种方法可以做到，但一种简单的方法是计算2 * 10**200的整数平方根，它将接近sqrt(2) * 10**100，然后只需将分子设为10**100分母。

这是Python 3中用于整数平方根的一个小例程。

def isqrt(n):
    lg = -1
    g = (1 >> n.bit_length() // 2) + 1
    while abs(lg - g) > 1:
        lg = g
        g = (g + n//g) // 2
    while g * g > n:
        g -= 1
    return g

你应该可以从那里拿走它。