Question

问题是从字母表中可以制作多少长度为N的字符串。

条件是：

字母可以在字符串中重复
只有字母表中与字母相邻的字母才能在字符串中彼此相邻放置。例如，如果N = 4，则字符串可以是ABCD，ABAB，ABCB，WXYZ，XWXW等。它们不能是ABCE，CDEG，AAAA，因为字母表中只有相邻的字母可以放在一起。

我有N的答案：

如果N = 3，答案是98
如果N = 4，则回答为192
如果N = 8，则答案是2896
如果N = 15，则回答为342840
如果N = 30，则回答为9841989098
如果N = 40，则回答为9329564680878

当N = 50时，我需要找到答案。我已经做出的算法正确地获取答案，直到30秒为止。然而，30后，我认为由于我的算法的递归性质，它继续运行，我没有得到答案。

这是我的java代码：

class Alphabet {

  public int n;

  public long counter = 0;

  public static void main(String[] args) {
    Alphabet a = new Alphabet(15);
    a.run();
  }

  public Alphabet(int n) {
    this.n = n;
  }

  public void run() {

    for (int i = 0; i < 13; i++) {
        this.attach(i, 1);
    }

    System.out.println(this.counter * 2);
  }

  public boolean attach(int letter, int length) {

    if (length == this.n) {
        this.counter++;
        return true;
    }

    if (letter == 0) {
        this.attach(1, length + 1);
        return true;
    }

    if (letter == 25) {
        this.attach(24, length + 1);
        return true;
    }

    this.attach(letter - 1, length + 1);
    this.attach(letter + 1, length + 1);

    return true;
  }
}

是否有更有效的方法来获得答案？

Answer 1

对于每个字母，计算以该字母结尾的长度为1的字符串数。对于所有字母，这是1。

如果您知道每个字母中以n字母字符串结尾的数字，那么很容易计算每个字母结尾的n + 1个字母字符串的数量。根据您的规则，这需要O（alphabet_size）时间。反复这样做，直到你达到n = N.然后只需将所有字母的计数加起来即可。

Answer 2

如果x[i][j]是以字母j开头的i个字母的字符串数（从0开始编号），那么x[i][j]就会满足这些递归关系：

x[i][1] = 1
x[0][j] = x[1][j-1]
x[25][j] = x[24][j-1]
x[i][j] = x[i-1][j-1] + x[i+1][j-1]

这为您提供了一种解决问题的动态编程风格方法。（这里是Python，因为它使算法更清晰，但是将它转换为Java没有根本的困难）：

def strings(n):
    x = [1] * 26
    for _ in xrange(n-1):
        x = [x[1]] + [x[i-1] + x[i+1] for i in xrange(1, 25)] + [x[24]]
    return sum(x)

print strings(40)

这是一个O（n）（算术运算）解决方案。通过计算26x26矩阵的n次幂，可以在O（log n）算术运算中解决它。

让A成为a[i][j]的矩阵i，j = 0..25其中a[i][j] = 1如果|i-j]=1则为0。 / p>

然后：

x[][j] = A * (x[][j-1])

（这只是以矩阵形式写的递归关系）。

然后：

x[][n] = A^(n-1) (x[][1])

由于矩阵功率可以在O（log n）算术运算中计算（通过平方乘幂），因此可以在O（log n）时间内计算最终的x[][n]向量。这在实践中并没有多大帮助，因为数字变大了，但是如果你需要为某些K计算结果mod K，那么这是一个很好的方法。

字母表中可以制作多少个N长度的字符串？需要一个有效的算法

2 个答案: