如何计算中轴？

Question

有谁知道如何计算两条给定曲线的中轴？

中轴：http://en.wikipedia.org/wiki/Medial_axis

这是我需要计算的形状：

我自己画了一条暗轴，黑暗的黑线，但我需要能够动态计算它。

这是我到目前为止所做的applet和代码： http://www.prism.gatech.edu/~jstrauss6/3451/sample/

已知变量是： -pt A，B，C，D -radii红色，绿色和黑色圆圈 -pt Q和R（在图片外面），黑色圆圈。

Answer 1

让C1和C2成为半径为r1和r2的圆心。由两个圆圈组成的图形的中轴（减去两个中心点）是满足

的点M的集合。

|M - C1| - r1 = |M - C2| - r2

暗示

|M - C1| - |M - C2| = r1 - r2
|M - C1|^2 + |M - C2|^2 - (r1 - r2)^2 = 2 * |M - C1||M - C2|
(|M - C1|^2 + |M - C2|^2 - (r1 - r2)^2)^2 = 4 * |M - C1|^2 |M - C2|^2  (**)

因此，中轴是四度代数曲线。

我们假设C1和C2在y轴上，并假设点（0,0）位于中轴上（所以C1 = (0, -r1 - x)和{{1对于某些C2 = (0, r2 + x)，您可以根据数据进行计算）。这是你可以随时转变的东西。

现在，您需要曲线x来对中轴进行参数化。为此，选择您选择的y = f(x)，并使用牛顿方法在x中求解方程(**)，并进行初始猜测y。这是一个你可以精确计算的多项式，以及它的导数（在y = 0中）。

Answer 2

在这种情况下，中轴是hyberbola。

有关详细信息，请参阅this article，特别是以下摘录：

  

外部与两个给定圆相切的任何圆的中心位于双曲线上，双曲线的焦点是给定圆的中心，顶点距离2a等于两个圆的半径差。

因此，考虑到焦点和顶点距离，问题会缩小到绘制双曲线。

Answer 3

如果您将圆圈嵌入矩形网格（想象图像），则可以使用此图像的距离变换来计算您的中轴。见link。 存在几种用于计算图像网格上的距离​​图的O（nlogn）算法。