Question

我正在试图找出一个简单的数学公式，它允许我将各种速度曲线应用于传入的MIDI值。在下图中，起始x，y为（0,0），结束x，y为（127,127）。我试图得到一个带有单个变量的公式，这个公式允许我生成简单的扩展或收缩曲线，总是在中间碰撞（通过变量的程度）。我的输入将是0到127之间的值，我的输出将始终在0到127之间。这看起来应该很容易，但我的大学微积分现在正在逃避我。

Answer 1

让我们首先将四个角标记为：

S =（0,0）

E =（127,127）

U =（0,127）

V =（127,0）

你正在寻找一个圆形方程，它通过E和S以及U和V之间的第三个点Z.让我们把它标记为Z：

Z（t）= t * U +（1-t）* V

我将使用两个和弦的垂直平分线在中心相交的事实。

平分线B1和B2是：

B1 =（Xz / 2，Yz / 2）

B2 =（（127 + Xz）/ 2，（127 + Yz）/ 2）

垂线的斜率是和弦斜率的负倒数，所以：

Slope1 = - （127-Xz）/（127-Yz）

Slope2 = - Xz / Yz

使用点和斜率的直线方程

L1 = y = Slope1 *（x-B1x）+ B1y

L2 = y = Slope2 *（x-B2x）+ B2y

圆圈C的中心是它们的交点：

Cx = [B2y-B1y + Slope1 * B1x - Slope2 * B2x] / [Slope1-Slope2]

Cy = [Slope2 *（B2y-B1y + Slope1 * B1x - Slope2 * B2x）] / [Slope1-Slope2] - Slope2 * B2x + B2y

所以我们有圆圈方程的左侧：

（x-Cx）^ 2 +（y-Cy）^ 2 = R ^ 2

缺少的是半径。但它只是C和我们任何初始点之间的距离。从S计算是最简单的，因为它是（0,0）：

R =平方根（[Cx-Sx] ^ 2 + [Cy-Sy] ^ 2）=平方根（Cx ^ 2 + Cy ^ 2）

所以最后如果你替换所有定义（在程序中可能更容易做到而不是在这里输入），那么你将获得单个变量t的函数：

（x-Cx）^ 2 +（y-Cy）^ 2 = Cx ^ 2 + Cy ^ 2

注意：你会得到t = 0.5的直线，但是你可以很容易地用t'= t-0.5代替并且只用t'

Answer 2

基于可移动控制点p1，我想要一个从p0（0,0）到p2（127,127）的简单二次贝塞尔曲线，其范围在（0,127）和（127,0）之间。我希望控制点的位置由偏差变量确定。这就是我根据偏差变量是-100到100之间的数字来解决它的方法（0是线性线，负侧表示pic 2，正侧表示pic 3）。

    /// <summary>
    /// Converts a MIDI value based on a velocity curve
    /// </summary>
    /// <param name="value">The value to convert</param>
    /// <param name="deviation">The amount of deviation from a linear line from -100 to 100</param>
    private int ConvertMidiValue(int value, double deviation)
    {
        if (deviation < -100 || deviation > 100)
            throw new ArgumentException("Value must be between -100 and 100", "deviation");

        var minMidiValue = 0d;
        var maxMidiValue = 127d;
        var midMidiValue = 63.5d;

        // This is our control point for the quadratic bezier curve
        // We want this to be between 0 (min) and 63.5 (max)
        var controlPointX = midMidiValue + ((deviation / 100) * midMidiValue);

        // Get the percent position of the incoming value in relation to the max
        var t = (double)value / maxMidiValue;

        // The quadratic bezier curve formula
        // B(t) = ((1 - t) * (1 - t) * p0) + (2 * (1 - t) * t * p1) + (t * t * p2)

        // t  = the position on the curve between (0 and 1)
        // p0 = minMidiValue (0)
        // p1 = controlPointX (the bezier control point)
        // p2 = maxMidiValue (127)

        // Formula can now be simplified as:
        // B(t) = ((1 - t) * (1 - t) * minMidiValue) + (2 * (1 - t) * t * controlPointX) + (t * t * maxMidiValue)

        // What is the deviation from our value?
        var delta = (int)Math.Round((2 * (1 - t) * t * controlPointX) + (t * t * maxMidiValue));

        return (value - delta) + value;
    }

这导致值曲线在下面显示的三个之间（蓝色为-100，灰色为0，红色为100）：

用于创建简单MIDI速度曲线的公式

2 个答案: