有人可以解释为什么这些运行时间是正确的吗？

Question

对于所有大小大于或等于500的输入，算法在时间n ^ 2 + 3n + 5中运行，对于所有小于500的输入大小，算法在时间2 ^（2n）中运行。从下面选择所有真实语句：< / p>

1: Its running time is O(2^(n))
2: Its running time is O(n^(2))
3: Its running time is Θ(n^(2))
4: Its running time is Θ(2^(2n))
5: Its running time is O(4^(n))
6: Its running time is Ω(n^(2))

正确的答案是：1,2,3,5,6

我不知道所有这些都可以解决上面的问题，请帮忙！

Answer 1

请记住，big-O表示法仅涉及长期函数的行为。回顾一下定义：

  

f（n）= O（g（n））如果有数字n ₀ 且c使得对于任何n≥n ₀ ，我们有f（n）≤c·g（n）。

对于您的函数，您的函数表现为“小”输入的一种方式和“大”输入的一种方式。 Big-O符号只会真正考虑“大”情况，所以你可以证明你的函数是O（n ² ），因为对于任何n≥500，我们都有

  

f（n）= n ² + 3n +5≤5n ² 。

big-Ω的定义以相同的方式工作 - 它只考虑“足够大”的输入，所以你可以说你的函数是Ω（n ² ），因为对于任何n≥500，我们有

  

f（n）= n ² + 3n +5≥n ² 。

这意味着你的函数也是Θ（n ² ）。

那么其他答案呢？好吧，O（n ² ）的任何函数也 O（4 ⁿ ），因为big-O表示法是一个上限，而不是紧紧的约束。然而，它不是Θ（4 ⁿ ），因为函数不是Ω（4 ⁿ ），因为4 ⁿ 的增长速度要快于n ² 长期。