FFTW和长双精度

Question

我用（http://www.fftw.org/doc/Precision.html）：

编译了FFTW 3.3.5库

./configure --enable-long-double
make
make install

我用gcc -std=gnu99 main.c -o sample.x -lfftw3l -lm

编译下面的代码

#include <math.h>
#include <complex.h>
#include <fftw3.h>
#include <string.h>

#define PI acosl(-1.0L)
#define FMODE FFTW_MEASURE

int main() {
  fftwl_complex  *A = fftwl_malloc(4096*sizeof(fftwl_complex));
  fftwl_plan     ft = fftwl_plan_dft_1d(4096, A, A, FFTW_BACKWARD, FMODE);
  long double    q, u, overN = ((long double) 1.L/4096);

  for (long int j = 0; j < 4096; j++) {
    q = 2.L*PI*(j*overN - 0.5L);
    u = 2.L*atan2l(0.5L*sinl(0.5L*q),cosl(0.5L*q));
    A[j] = -1.IL*cpowl(0.01L*(1.L/ctanl(0.5L*(u-0.1IL)) - 1.IL),2);
  }
  printf("%26.18LE\t%26.18LE\n", creall(A[1]), cimagl(A[1]));
  fftwl_execute(ft);
  for (int j = 0; j < 2048; j++) {
    A[j] = -1.0IL*((fftwl_complex) j*A[j])*overN;
  }
  printf("%26.18LE\t%26.18LE\n", creall(A[1]), cimagl(A[1]));
  memset(A+2048, 0, 2048*sizeof(fftwl_complex));
  fftwl_execute(ft);
  printf("%26.18LE\t%26.18LE\n", creall(A[1]), cimagl(A[1]));
}

据我所知，最终printf的结果必须是 但是，对于所有运行，同样高达17-18个十进制数字 我得到的是小数点后14位。 这样的事情可能表明长双 被降级为 double 类型。代码的输出 从一次运行变为另一次运行：

  2.907416794556517046E-07    9.025765251354815022E-05
 -5.697284273172913999E-04    7.463682637972633967E-24
  1.895341327532694420E-04    3.343168537700265992E-07

  2.907416794556517046E-07    9.025765251354815022E-05
 -5.697284273172913999E-04    1.965167197605865111E-23
  1.895341327532697672E-04    3.343168537692799396E-07

关于我在哪里失去长双准确度的任何想法？

Answer 1

由复数FFT产生的数组的每个项目都是a weighted sum of the 4096 items of the input array，可以用不同的方式计算。可以按照here所述执行对错误传播方式的研究。

由于和的权重总是为1，因此输出数组的项的方差是输入数组的项的方差之和（输入数组的项被视为独立的随机变量）。

精度1e-18是标准偏差与值的范数之比。因此，如果使用long double：

最后，结果的精度写道：

这个等式的直接结果是灾难性消除的现象：输出的标准偏差是有限的，但是值|y|非常小，因为相似的值被减去...结果，没有数字很​​重要！例如，请参见此处（https://en.wikipedia.org/wiki/Loss_of_significance）。这解释了为什么7.463682637972633967E-24在您的案例中很容易成为1.965167197605865111E-23。实际上，如果发生部分消除，精度可以很容易地从1e-18降低到像1e-14这样的值。 | y |的值较小具有较少有效数字。

输出不同于一次运行的事实可能是由于使用了标志FFTW_MEASURE。如果使用此标志，将尝试不同的算法，FFTW将选择最快的算法。由于长度为4096的1D FFT现在非常快，因此定时可能不是非常一致，并且可以选择具有可比性能的不同算法。不同的算法将导致不同的计算和非有效数字的不同结果。如果使用标志FFTW_ESTIMATE，这些变体是否仍然存在？如果使用此标志，it seems that FFTW uses a simple heuristic to choose the algorithm。这种启发式很可能是确定性的......