我在思考数值分析中的一个基本问题。
当离散常微分方程时，众所周知二阶方法比一阶方法更准确，因为二阶方法的截断误差是O（dx ^ 2）和O（dx）一阶法。当0 <0时，这是真的。 dx＆lt; 1.
如果dx＆gt; 1？例如，域为0到10000，网格大小为1000，然后dx = 10.在这种情况下，二阶方法是不正确的一阶方法，因为dx ^ 2 = 100且dx = 10？在处理大规模问题时我们可以遇到这种情况，例如气候模型（云大小可能是几公里）。
答案 0 :(得分：1)
二阶方法并不比一阶方法更准确，因为dx ^ 2＆lt; dx，对于某些dx值。它是关于小dx收敛的渐近速率的陈述。
另外，直接比较dx ^ 2到dx是没有意义的，因为dx不是无单位数量，它是一个长度。因此，您要尝试将区域与长度进行比较，这是毫无意义的。
在big-O notation中，如果数量收敛于O（dx ^ 2），则通常意味着错误的形式为e = a2 dx ^ 2 + a3 dx ^ 3 + ...系数a2以X /米^ 2为单位，其中X是您的错误所在的单位，也许您使用其他长度而不是米。类似地，对于一阶解，误差的形式为b1 dx + b2 dx ^ 2 + ...，其中b1以X /米为单位。
因此，如果您决定可以忽略非主导术语（对于dx的大值，您可能不会这样），则dx ^ 2和dx之间的比较不是，它是＆＃39; s在a2 dx ^ 2和b1 dx之间。这两个错误术语之间显然存在交叉，但它不是在dx = 1，而是在dx = b1 / a2。如果您的离散化很粗糙，那么您可能不会处于忽略高阶项的渐近机制中，并且您的解决方案可能非常不准确。