Question

在我的一次求职面试中，我问过这个问题 -

M是2d n×n矩阵，其中每行和每列都被排序，并且所有矩阵元素都是不同的。我需要一个O（n）算法 - 给定索引i，j，i0，j0作为输入，计算M的元素数量小于M [i，j]并且大于M [i0，j0]。我为此尝试了各种方法，但无法弄清楚。将非常感谢帮助。接下来的部分是找出O（nlogn）预期时间内M的中位数。

Answer 1

将矩阵视为一组行。在每一行中都有最小和最大有效值的索引。如果您知道这些索引，则可以在O（1）中计算该行中的有效值的数量。（通过有效，我的意思是M [i，j]和M [i0，j0]之间的值。）

现在，矩阵已排序。让我们采取下限：（i，j）。

如果要查找上一行中最小有效值的索引，则必须位于（i，j）的右侧。这是因为正上方（i，j）必须存在无效（太小）的值。
如果你想在下一行找到最小有效值的索引，它必须位于（i，j）的左侧（或它的正下方）。

因此，您需要在矩阵中最多走2n“步”以找到每行的下限索引。上限也是如此。所以你的步行是O（n），然后计算每一行的有效值数是O（n），因此总时间是O（n）。

使用此算法可以解决中位数问题。首先请注意，如果计算上一个问题的解，您可以使用每行中边界值的索引在线性时间中随机选择一个有效值。然后可以通过二分算法计算中位数：

selection_find(M, i0,j0, i2,j2, K):
    # Find K-th smallest number between M(i0,j0) and M(i2,j2)
    # assumption: M(i0,j0)<M(i2,j2)
    N := number of values between M(i0,j0) and M(i2,j2)
    # assumption: k<N
    Pick at random i1,j1 so that M(i0,j0)<M(i1,j1)<M(i2,j2)
    L := number of values between M(i0,j0) and M(i1,j1)
    if L==K:
        The answer is M(i1,j1)
    if L<K:
        The answer is selection_find(M, i1,j1, i2,j2, K-L)
    if L>K:
        The answer is selection_find(M, i0,j0, i1,j1, K)

median_find(M):
    The answer is selection_find(M, 1,1, n,n, n²/2)

每个步骤都需要O（N）。将有O（logN²）= O（2log N）= O（log N）步（每个步骤应将所考虑的值的数量减半）。因此，总复杂度为O（NlogN）。

完全排序的矩阵

1 个答案: