计算大数的模数

Question

我正在研究离散结构的测验。我该如何计算2 ^ 50（mod5）？我可以使用计算器用较小的数字计算结果，但我不能用大数字来计算。

Answer 1

我们假设我们有一个数字N = 5X + Y，其中N，X和Y是整数（即N mod 5 = Y）。从那时起，2N = 2(5X + Y) = 10x + 2Y就是2N mod 5 = 2Y mod 5。

类似地，因为2 ^ 50可以改写为（（2 ^ 5）^ 5）^ 2：

2^50 mod 5 = ((2^5 mod 5)^5 mod 5)^2 mod 5

2^50 mod 5 = ((2)^5 mod 5)^2 mod 5

2^50 mod 5 = (2)^2 mod 5

2^50 mod 5 = 4

Answer 2

您可以利用if (2^x = t)(mod A) then (2^(x*y) = t^y)(mod A)。

这一事实

因此，我们有：

2^2  = (-1) (mod 5) which means
2^50 = (-1)^25(mod 5)
     = -1 (mod 5) (which is the same as 4 (mod 5))

使用实际计算，我们看到2^50 = 1125899906842624 = -1(mod 5)。