如何将球体映射到四面体？

Question

如果我有球的近似值，我如何映射球体的顶点以形成（矩形）四面体？

我当前的方法将球体的所有顶点映射到四面体的四个顶点中的一个顶点。但是，如果可能的话，我希望它们均匀分布。

我会感谢任何方法或解决方案。

Answer 1

考虑它的一种方法是想象一个四面体内的球体，并想象从球体中心投射一条射线直到它切割出四面体。

在四面体中获得点的方程式有点棘手。也许最容易想象它嵌入边长为2的立方体中，顶点为（1,1,1），（ - 1，-1,1），（1，-1，-1），（-1,1， -1）。面的方程是x + y + z = 1, x - y - z = 1, - x + y - z = 1, - x - y + z = 1。

因此对于单位范围x = sin(theta) cos(phi), y = sin(theta) sin(phi), z = cos(theta)上的给定点。我们只需要找到满足四个方程之一的点（r x，r y，r z）。比方说我们可能有r x + r y + r z = 1。如果我们知道x，y，z就很容易解决r：r = 1/(x+y+z)。

它有点棘手，可以计算出哪个面，只需计算r1 = 1 /（x + y + z），r2 = 1 /（xyz），r3 = 1 /（ - x + yz），r4 = 1 /（ - x-y + z）。丢弃任何负值并取其余的最小值。

这是使用此技术的球体投影。