Question

从下面的例子中，我认为String在连接操作下定义一个monoid是正确的，因为它是一个关联二进制操作，而String碰巧有一个标识元素是一个空字符串""。

scala> ("" + "Jane") + "Doe" ==  "" + ("Jane" + "Doe")
res0: Boolean = true

从我最近阅读过的关于这个主题的各种文本来看，似乎正确使用术语 monoid 是幺半群实际上是两种类型的组合（在这种情况下{ {1}}）和一个monoid类型的实例，它定义了操作和标识元素。

例如，这是一个理论上的String类型及其具体实例，似乎在各种书籍/文章中经常被定义： -

Monoid

我知道我们不需要在核心（Scala，或者更确切地说是Java）库中定义trait Monoid[A] { def op(a1: A, a2: A): A def zero: A } val stringMonoid = new Monoid[String] { def op(a1: String, a2: String) = a1 + a2 val zero = "" }或trait Monoid[A]来支持我的REPL输出，并且该示例只是一个理解的工具幺半群的抽象概念。

我的问题（我很可能会考虑太多）是纯粹的定义。我知道底层的stringMonoid（或更确切地说java.lang.String）已经定义了关联操作，但我认为没有明确的identity元素定义（在这种情况下只是一个空字符串{{ 1}}）定义在任何地方。

问题： -

StringBuilder隐式地在连接操作下是一个monoid，只是因为我们碰巧知道使用空字符串""提供了身份？或者，对于类型的标识元素的明确定义是不必要的，因为它被归类为monoid（在特定的关联二元操作下）。

Answer 1

你可能会过度思考这一点。 monoid 是一种抽象概念，存在于编程和类型系统之外（一种类别理论）。考虑定义：

monoid是一个在关联二元操作下关闭并具有标识元素的集合。

您已将String类型标识为已关闭使用关联二进制操作（串联）和标识元素（空字符串）进行设置。语言可能没有明确告诉你身份元素是什么，但这并不意味着它不存在（我们知道它确实存在）。具有连接二进制操作的String类型肯定是 monoid ，因为您可以证明它符合所有上述属性。

创建Monoid类型类仅仅是为了方便我们处理使用monoids运行的通用数据结构。无论编程语言（或其他一些库）是否明确说明什么设置与什么二元操作和什么身份构成幺半群，幺半群仍然存在。

重要的是要注意String类型本身并不构成monoid，因为它必须与所述二元运算等存在。可能有另一个monoid使用相同的set存在，但是一个不同的二元操作。

Answer 2

我认为你已经理解了这个概念是正确的，并且确实已经过多地思考了＃34;关于它（;

monoid是一个三元组正如他们在数学中所说：一个集合（想象一个带有它的值的类型），一个关联的二元运算符和一个中性元素。你定义这样的三元组 - 你定义一个幺半群。 <答案

隐式地在String串联操作下是一个monoid，只是因为我们碰巧知道使用空字符串""提供了身份吗？

只是是。你命名了集合，关联二元运算和中性元素 - 宾果游戏！你有一个幺半群！关于

已经定义了关联操作，但我认为没有明确的标识元素定义

有点混乱。您可以在String上选择不同的关联操作及其对应的中性元素，并定义各种幺半群。连接不像某种正统的＃34;关于String的关联操作来定义monoid，可能是最明显的。

如果你将一张桌子定义为＆＃34;它有四条腿和一个平坦的水平表面＆＃34;，那么符合这个定义的任何东西都是一张桌子，无论它是什么材料？＃39;制造和其他可变特征。现在，你什么时候需要＆＃34;认证＆＃34;它显然是一张桌子？只有当你需要使用它的＆＃34; table-properties＆＃34;时，如果要出售它并宣传你可以放置它并且它们不会掉下来，因为表面保证< em> flat 和 horizontal 。

对不起，如果这个例子有点愚蠢，我在这种类比中并不是很好。我希望它仍然有用。

现在关于实例化提到的＃34;理论Monoid类型＆＃34;。这些类型通常称为type class。既不存在这种类型本身（可以通过各种方式定义），也不需要将其实例称为将三元组(String, (_ ++ _), "")称为幺半群，并将原因称为幺半群（即使用通用幺半群属性）。实际使用的是ad-hoc polymorphism。在Scala中，它完成了implicits。例如，可以定义多态函数

def fold[M](seq: Seq[M])(implicit m: Monoid[M]): M = seq match {
  case Seq.empty => m.zero
  case (h +: t)  => m.op(h, fold(t))
}

然后，如果您的stringMonoid值声明为implicit val，则只要您使用fold[String]且stringMonoid在范围内，它就会使用其zero和{内部{1}}相同的op定义适用于fold的其他实例。

另一个主题是当您有多个Monoid[...]实例时会发生什么。阅读Where does Scala look for implicits?。

Answer 3

要回答你的问题，首先我们需要回答另一个问题：什么是幺半群？人们可以从至少两个不同的角度来看待它：

类别理论观点，
Scala编程语言透视。

重要但是不要混合这两个观点。类别理论是数学的一种形式，因此类别理论中的幺半群属于Platonic Forms的领域，而在Scala编程语言中，根据Platonic realism，它是一个特殊的。

Scala中的幺半群只是一个理想的柏拉图式幺半群的反映。但我们可以自由选择我们如何进行这种反射，因为无论如何，特殊仅仅是形式的近似。这种反思是基于媒介的表达能力，其中发生了这种反射（在我们的例子中是Scala编程语言）。

Monoid要求我们使用＆＃34; identity＆＃34;来指定给定类型的唯一实例。概念。我认为唯一标识某种类型实例的最佳方法是使用单例类型，因为与值相反的类型保证是唯一的。由于Scala没有正确的单例类型（请参阅here进行讨论），因此无法在Scala中清楚地表达monoid Form，这可能是您提出问题的地方。

Scala对这个问题的回答是类型类。斯卡拉说：＆＃34;好吧，我不能将空字符串表示为一种独特的类型（在总和数字下也不能表示0，等等），所以我根本不会在那个级别上操作。相反，让我相信你有一个字符串的monoid类型类，我会让你在适当的时候使用它。＆＃34;这是一种非常实用的方法，但不是很纯粹。单例类型允许一个空字符串表示为唯一类型，字符串monoid表示这样（警告，这不会编译）：

// Identity typeclass
trait Identity[T] {
  type Repr
  val identity: Repr
}

object Identity {
  implicit val stringIdentity = new Identity {
    type I = "" // can't do this without singleton types support
    val identity = ""
  }
}

trait Monoid[A] { 
  def op(a1: A, a2: A): A 
  def zero: Identity[A]#Repr
} 

object Monoid {
  implicit def stringMonoid[I](implicit 
    stringIdentity: Identity[String] { type Repr = I }) = new Monoid[String] { 
      def op(a1: String, a2: String): String = a1 + a2 
      def zero: I = stringIdentity.identity
  }
}

我认为使用shapeless可能会非常接近这一点，但我还没有尝试过。

总而言之，从Scala语言的角度来看，monoid意味着有一个monoid类型类的实例，因为我们实现者选择将理想的monoid反映到Scala的现实中。你的问题将理想的monoid与现实世界的Scala monoid混合在一起，因此很难制定和回答。 Scala中缺少单例类型迫使我们做出假设，就像空字符串是String类型的标识一样。对于单身类型，我们不必假设，但我们可以证明这个事实，并在monoid定义中使用这样的证据。

希望这有帮助。

Answer 4

如果你要使用String（或RichString）方法实现，你只需要String（在JVM中实现，或在SDK中补充）作为一个合适的Monoid（例如RichString extends Monoid[String]）直接从Monoid获取，因此您不必实现它们。也就是说，如果我们知道String是一个Monoid，那么它就拥有了所有的操作，而我们不必实现它们。这种情况有两个问题：首先，在人们认为String是monoid之前很久就在JVM中实现了String，因此所有有用的方法都直接写入String或StringBuilder。其次，Monoid可能没有非常有用的方法。

正确使用术语Monoid

4 个答案: